공통수학2 · 유리함수와 무리함수
04 무리식
개념
실수 조건 (근호 안) $\ge 0$, 분모에 있으면 (근호 안) $>0$
제곱근 $\sqrt{a^2}=|a|$
음수의 제곱근 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\dfrac{a}{b}}$이면 $a\ge 0$, $b<0$
유리화 $\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$
자주 나오는 유형
유형 1 무리식의 실수 조건과 제곱근
문제 · 기본
$\sqrt{x+2}+\dfrac{1}{\sqrt{3-x}}$의 값이 실수가 되도록 하는 정수 $x$의 개수를 구하시오.
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$x+2\ge 0$, $3-x>0$ (분모는 $0$이 될 수 없다)
$-2\le x<3$
$\therefore$ 정수 $x$: $5$개
사고 흐름
① 근호마다 (근호 안) $\ge 0$
② 분모에 있는 근호는 $>0$
③ 모든 조건의 공통 범위를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-3}}=-\sqrt{\dfrac{x+1}{x-3}}$을 만족시키는 실수 $x$에 대하여 $\sqrt{(x+1)^2}+|x-3|$을 간단히 하시오.
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$x+1\ge 0$, $x-3<0$ ($x+1=0$도 가능)
$-1\le x<3$
$\sqrt{(x+1)^2}=x+1$, $|x-3|=3-x$
$\therefore$ $4$
사고 흐름
① 음수의 제곱근 성질로 부호를 정한다
② 분자가 $0$인 경우도 포함한다
③ $\sqrt{a^2}=|a|$를 부호대로 푼다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 분모의 유리화
문제 · 기본
$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$을 간단히 하시오.
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분모의 켤레식을 곱한다
$\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}$
$\therefore$ $2\sqrt{3}$
사고 흐름
① 분모가 $\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$ 꼴인지 본다
② 켤레식을 분자·분모에 곱한다
③ 분모는 $a-b$가 된다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$x>0$일 때 $\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=a\sqrt{x^2+x}$이면 상수 $a$의 값을 구하시오.
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분모의 곱 $(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2=1$
첫째 $=(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})^2$, 둘째 $=(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})^2$
차 $=4\sqrt{x+1}\sqrt{x}=4\sqrt{x^2+x}$
$\therefore$ $a=4$
사고 흐름
① 두 분모가 서로 켤레인지 본다
② 유리화하면 분모가 $1$이 된다
③ 제곱식의 차로 정리한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 무리식의 값
문제 · 기본
$x=\sqrt{5}+2$일 때, $x^2+\dfrac{1}{x^2}$의 값을 구하시오.
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$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2$
$x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt{5}$
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=(2\sqrt{5})^2-2=$ $18$
사고 흐름
① $\dfrac{1}{x}$을 유리화해 간단히 한다
② $x+\dfrac{1}{x}$을 먼저 구한다
③ 곱셈 공식의 변형으로 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$x=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$일 때, $x^3+x^2y+xy^2+y^3$의 값을 구하시오.
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$x=\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}=2+\sqrt{3}$, $y=2-\sqrt{3}$
$x+y=4$, $xy=1$
(주어진 식) $=(x+y)(x^2+y^2)=4\times(16-2)$
$\therefore$ $56$
사고 흐름
① 각 값을 유리화해 간단히 한다
② $x+y$, $xy$로 나타낼 수 있게 식을 묶는다
③ 직접 세제곱하지 않는다
DOYEONMATH · 김도연T