공통수학2 · 유리함수와 무리함수
03 유리함수의 활용
개념
직선과의 위치 연립한 이차방정식의 판별식, 늘 지나는 점
역함수 $x$에 대해 풀고 $x$, $y$를 바꾼다 / $y=x$ 대칭
$f=f^{-1}$ 점근선의 교점이 직선 $y=x$ 위
그래프 위의 점 $(t, f(t))$로 놓고 길이·넓이를 식으로
자주 나오는 유형
유형 1 유리함수의 그래프와 직선의 위치 관계
문제 · 기본
함수 $y=\dfrac{2}{x}$의 그래프와 직선 $y=-x+k$가 만나지 않도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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$\dfrac{2}{x}=-x+k$에서 $x^2-kx+2=0$
만나지 않으려면 판별식 $k^2-8<0$
$-2\sqrt{2}<k<2\sqrt{2}$
$\therefore$ 정수 $k$: $5$개
사고 흐름
① 두 식을 연립해 이차방정식을 만든다
② 만나지 않으면 실근이 없다
③ 판별식 $D<0$으로 범위를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $y=\dfrac{x+1}{x-1}$의 그래프와 직선 $y=mx+1$이 만나지 않도록 하는 정수 $m$의 개수를 구하시오.
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$\dfrac{x+1}{x-1}=mx+1$에서 $mx^2-mx-2=0$
$m=0$이면 직선 $y=1$은 점근선 → 만나지 않는다
$m\neq 0$: $D=m^2+8m<0$에서 $-8<m<0$
$\therefore$ $-7\le m\le 0$: $8$개
사고 흐름
① 직선이 늘 지나는 점 $(0, 1)$을 찾는다
② 기울기 $0$(점근선과 평행)을 따로 본다
③ 나머지는 판별식으로 범위를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 절댓값이 있는 유리함수의 그래프
문제 · 기본
함수 $y=\left|\dfrac{2}{x-1}-1\right|$의 그래프와 직선 $y=k$의 교점의 개수를 $f(k)$라 할 때, $f(0)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f(1)+f(2)$의 값을 구하시오.
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$x$축 아래 부분을 위로 접어 올린다
점근선 $y=-1$은 $y=1$로 바뀐다
$f(0)=f(1)=1$, $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=f(2)=2$
$\therefore$ $6$
$x$
$y$
$O$
$1$
$3$
$1$
사고 흐름
① 절댓값 안의 그래프를 먼저 그린다
② $y<0$인 부분을 $x$축 위로 접는다
③ 직선 $y=k$를 움직이며 교점을 센다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $y=\dfrac{2|x|+1}{|x|+1}$의 그래프와 직선 $y=k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.
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$x\ge 0$: $y=\dfrac{2x+1}{x+1}=2-\dfrac{1}{x+1}$
$|x|$이므로 그래프는 $y$축에 대하여 대칭
$x\ge 0$에서 $y$는 $1$부터 증가하며 $2$에 가까워진다
$\therefore$ $1<k<2$
$x$
$y$
$O$
$2$
$1$
사고 흐름
① $x\ge 0$인 부분의 그래프를 먼저 그린다
② $|x|$이면 $y$축에 대하여 접어 그린다
③ $k=1$(꼭짓점)과 $k=2$(점근선)는 경계
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 유리함수의 합성
문제 · 기본
두 함수 $f(x)=\dfrac{x}{x-1}$, $g(x)=\dfrac{1}{x}$에 대하여 $(f\circ g)(3)+(g\circ f)(3)$의 값을 구하시오.
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$(f\circ g)(3)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\div\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$
$(g\circ f)(3)=g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{2}{3}$
$\therefore$ $\dfrac{1}{6}$
사고 흐름
① 안쪽 함숫값부터 계산한다
② 번분수는 나눗셈으로 바꿔 계산한다
③ 합성 순서를 바꾸면 값이 다르다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$에 대하여 $f^{2026}(3)$의 값을 구하시오. (단, $f^1=f$, $f^{n+1}=f\circ f^n$)
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$f^2(x)=f(f(x))=-\dfrac{1}{x}$
$f^4(x)=f^2(f^2(x))=x$ → 주기 $4$
$2026=4\times 506+2$
$\therefore$ $f^{2026}(3)=f^2(3)=$ $-\dfrac{1}{3}$
사고 흐름
① $f^2$을 식으로 구해 간단히 한다
② 항등함수가 나올 때까지 합성한다
③ 지수를 주기로 나눈 나머지만 본다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 4 유리함수의 역함수빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$의 역함수가 $f^{-1}(x)=\dfrac{ax+b}{x+c}$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.
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$y=\dfrac{2x+1}{x-3}$에서 $xy-3y=2x+1$
$x(y-2)=3y+1$, $x=\dfrac{3y+1}{y-2}$
$x$와 $y$를 바꾸면 $y=\dfrac{3x+1}{x-2}$
$a=3$, $b=1$, $c=-2$ $\therefore$ $2$
사고 흐름
① 분모를 없애고 $x$에 대해 정리한다
② $x$와 $y$를 서로 바꾼다
③ 점근선도 $y=x$에 대하여 바뀐다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=\dfrac{ax+b}{x+3}$의 그래프와 그 역함수의 그래프가 모두 점 $(1, 2)$를 지날 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $b-a$의 값을 구하시오.
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$f(1)=2$: $\dfrac{a+b}{4}=2$
역함수가 $(1, 2)$를 지나면 $f(2)=1$: $\dfrac{2a+b}{5}=1$
$a+b=8$, $2a+b=5$에서 $a=-3$, $b=11$
$\therefore$ $b-a=$ $14$
사고 흐름
① 역함수 위의 점은 $x$, $y$를 바꿔 $f$ 위의 점으로
② 두 점을 대입해 식 두 개를 만든다
③ 연립해 계수를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 5 $f=f^{-1}$인 유리함수빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)=\dfrac{ax+1}{x-2}$에 대하여 $f=f^{-1}$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
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$f=f^{-1}$ ⇔ 그래프가 직선 $y=x$에 대하여 대칭
점근선의 교점 $(2, a)$가 $y=x$ 위 → $a=2$
확인: $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$이면 $(f\circ f)(x)=x$
$\therefore$ $a=2$
사고 흐름
① $f=f^{-1}$이면 $f\circ f=I$
② 그래프는 $y=x$에 대하여 자기 자신과 대칭
③ 점근선의 교점이 $y=x$ 위에 있다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=\dfrac{ax+b}{x+c}$가 $f=f^{-1}$이고 $f(2)=-4$, $f(4)=10$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.
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점근선의 교점 $(-c, a)$가 $y=x$ 위 → $c=-a$
$f(2)=-4$: $\dfrac{2a+b}{2-a}=-4$에서 $b=2a-8$
$f(4)=10$: $\dfrac{4a+b}{4-a}=10$에서 $a=3$, $b=-2$
$\therefore$ $a+b+c=3-2-3=$ $-2$
사고 흐름
① $f=f^{-1}$에서 미지수 하나를 줄인다
② 주어진 함숫값으로 나머지를 구한다
③ $f\circ f=I$인지 마지막에 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 6 유리함수의 합성함수와 역함수빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$에 대하여 $f^{-1}(4)+(f^{-1}\circ f)(5)$의 값을 구하시오.
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$f^{-1}(4)=k \Leftrightarrow f(k)=4$
$\dfrac{k+2}{k-1}=4$에서 $k=2$
$(f^{-1}\circ f)(5)=5$
$\therefore$ $2+5=$ $7$
사고 흐름
① 역함수 값은 $f(k)=$ (값)으로 바꾼다
② $f^{-1}\circ f=I$로 지운다
③ 역함수 식을 직접 구하지 않아도 된다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f$가 $1$이 아닌 모든 실수 $x$에 대하여 $f\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)=2x+1$을 만족시킬 때, $f(2)+f^{-1}(5)$의 값을 구하시오.
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$f(2)$: $\dfrac{x+1}{x-1}=2$인 $x=3$ → $f(2)=7$
$f^{-1}(5)=k$: $2x+1=5$인 $x=2$를 넣어 $k=\dfrac{2+1}{2-1}=3$
$\therefore$ $7+3=$ $10$
사고 흐름
① 괄호 안이 원하는 값이 되는 $x$를 찾는다
② 역함숫값은 우변이 그 값이 되는 $x$로
③ 그때의 괄호 안 값이 답
DOYEONMATH · 김도연T
유형 7 유리함수의 그래프 위의 점과 도형빈출
문제 · 기본
함수 $y=\dfrac{4}{x-1}+2$의 그래프 위의 점 중 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시오.
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$(x-1)(y-2)=4$
$x-1$은 $4$의 약수: $\pm1$, $\pm2$, $\pm4$
$\therefore$ $6$개
사고 흐름
① 점근선을 옮겨 곱의 꼴로 바꾼다
② 정수의 곱이 $k$이면 약수 쌍
③ 음수 약수도 빠뜨리지 않는다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 곡선 $y=\dfrac{1}{x}$, $y=\dfrac{k}{x}$ ($x>0$, $k>1$)가 있다. 앞의 곡선 위의 점 A에서 $x$축, $y$축에 평행한 직선을 그어 뒤의 곡선과 만나는 점을 각각 B, C라 하자. 삼각형 ABC의 넓이가 $8$일 때, $k$의 값을 구하시오.
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$A\left(t, \dfrac{1}{t}\right)$이면 $B\left(kt, \dfrac{1}{t}\right)$, $C\left(t, \dfrac{k}{t}\right)$
$\overline{AB}=(k-1)t$, $\overline{AC}=\dfrac{k-1}{t}$
넓이 $\dfrac{1}{2}(k-1)^2=8$ ($t$와 무관)
$k>1$이므로 $k=5$
$x$
$y$
$O$
$A$
$B$
$C$
사고 흐름
① 그래프 위의 점을 한 문자로 놓는다
② 축에 평행하면 한 좌표가 같다
③ 넓이에서 문자가 지워지는지 본다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 8 유리함수에서 산술평균과 기하평균
문제 · 기본
함수 $y=\dfrac{2}{x}$ ($x>0$)의 그래프 위의 점 P에서 $x$축, $y$축에 내린 두 수선의 길이의 합의 최솟값을 구하시오.
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$P\left(t, \dfrac{2}{t}\right)$ ($t>0$)
$t+\dfrac{2}{t}\ge 2\sqrt{t\times\dfrac{2}{t}}=2\sqrt{2}$
등호는 $t=\sqrt{2}$일 때
$\therefore$ $2\sqrt{2}$
사고 흐름
① 점을 $\left(t, \dfrac kt\right)$로 놓는다
② 곱이 일정한 두 양수의 합 → 산술·기하평균
③ 등호가 성립하는 $t$가 있는지 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $y=\dfrac{4}{x-2}+1$ ($x>2$)의 그래프 위의 점 P에서 $x$축, $y$축에 내린 두 수선의 길이의 합의 최솟값을 구하시오.
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$P\left(t, \dfrac{4}{t-2}+1\right)$ ($t>2$)
합 $=t+\dfrac{4}{t-2}+1=(t-2)+\dfrac{4}{t-2}+3$
$(t-2)+\dfrac{4}{t-2}\ge 2\sqrt{4}=4$ (등호 $t=4$)
$\therefore$ 최솟값 $7$
사고 흐름
① 곱이 일정해지도록 $t-2$ 덩어리를 만든다
② 남은 상수는 따로 더한다
③ $t-2>0$ 조건과 등호 조건을 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T