공통수학2 · 명제
06 명제의 증명
개념
정의 용어의 뜻을 명확하게 정한 문장
정리 참임이 증명된 명제 중 기본이 되는 것
대우 증명 $\sim q\rightarrow \sim p$가 참임을 보여 $p\rightarrow q$를 증명
귀류법 결론을 부정하면 모순이 생김을 보여 증명
자주 나오는 유형
유형 1 대우를 이용한 증명
문제 · 기본
다음은 자연수 $n$에 대하여 명제 '$n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수이다.'를 대우를 이용하여 증명한 것이다. (가), (나)에 알맞은 것을 구하시오.
대우: '$n$이 짝수이면 $n^2$은 (가)이다.'
$n=2k$ ($k$는 자연수)라 하면 $n^2=4k^2=2\times$(나)
대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
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가정과 결론을 부정해 바꾼 대우를 증명한다.
'홀수가 아니다' → 짝수이므로 (가)는 짝수
$4k^2=2\times 2k^2$이므로 (나)는 $2k^2$
$\therefore$ (가) 짝수, (나) $2k^2$
사고 흐름
① 원래 명제의 대우부터 정확히 쓴다
② 짝수는 $2k$, 홀수는 $2k-1$로 놓는다
③ 대우가 참이면 원래 명제도 참
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
다음은 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 명제 '$a^2+b^2$이 홀수이면 $a+b$는 홀수이다.'를 대우를 이용하여 증명한 것이다. (가), (나)에 알맞은 것을 구하시오.
대우: '$a+b$가 (가)이면 $a^2+b^2$도 (가)이다.'
$a+b=2k$ ($k$는 자연수)라 하면
$a^2+b^2=(a+b)^2-$(나)$=2(2k^2-ab)$
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대우는 '$a+b$가 짝수이면 $a^2+b^2$도 짝수'
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$로 바꾸면
$(2k)^2-2ab=2(2k^2-ab)$ → 짝수
$\therefore$ (가) 짝수, (나) $2ab$
사고 흐름
① '홀수'의 부정은 '짝수'로 대우를 쓴다
② 가정($a+b$)이 보이도록 식을 변형한다
③ $2\times(\text{정수})$ 꼴이면 짝수
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 귀류법빈출
문제 · 기본
다음은 $\sqrt{2}$가 무리수임을 이용하여 $\sqrt{2}+1$이 무리수임을 귀류법으로 증명한 것이다. (가), (나)에 알맞은 것을 구하시오.
$\sqrt{2}+1$이 (가)라고 가정하면
$\sqrt{2}+1=r$ ($r$는 유리수)로 놓을 수 있다.
$\sqrt{2}=r-1$이고 $r-1$은 유리수이므로
$\sqrt{2}$가 무리수라는 사실에 (나)이다.
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귀류법은 결론을 부정해서 가정한다.
'무리수이다'의 부정 → 유리수
유리수에서 $1$을 빼도 유리수 → 알려진 사실과 모순
$\therefore$ (가) 유리수, (나) 모순
사고 흐름
① 결론을 부정해서 가정한다
② 가정에서 식을 정리해 성질을 끌어낸다
③ 알려진 사실과의 모순을 찾는다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
다음은 $x^2-4y=3$을 만족시키는 정수 $x$, $y$가 존재하지 않음을 귀류법으로 증명한 것이다. (가), (나)에 알맞은 것을 구하시오.
정수 $x$, $y$가 존재한다고 가정하면 $x^2=4y+3$
$x=2k$이면 $x^2=4k^2$ → $4$로 나눈 나머지 (가)
$x=2k+1$이면 $x^2=4\times$(나)$+1$ → 나머지 $1$
어느 경우도 나머지가 $3$이 아니므로 모순이다.
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정수가 존재한다고 가정하고 모순을 찾는다.
$x^2$을 $4$로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $1$뿐
$(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1$
$\therefore$ (가) $0$, (나) $k^2+k$
사고 흐름
① '존재하지 않는다'의 부정은 '존재한다'
② 짝수·홀수로 나눠 나머지를 계산한다
③ 나올 수 없는 나머지로 모순을 보인다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 삼단논법과 명제의 추론
문제 · 기본
두 명제가 참일 때, 보기에서 항상 참인 명제만을 고르시오.
(가) 운동을 좋아하는 사람은 아침형이다.
(나) 아침형인 사람은 일찍 잔다.
ㄱ. 운동을 좋아하는 사람은 일찍 잔다.
ㄴ. 일찍 자는 사람은 운동을 좋아한다.
ㄷ. 일찍 자지 않는 사람은 운동을 좋아하지 않는다.
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$p$: 운동을 좋아함, $q$: 아침형, $r$: 일찍 잠
$p\rightarrow q$, $q\rightarrow r$이므로 $p\rightarrow r$
ㄷ은 $p\rightarrow r$의 대우 → 참, ㄴ은 역 → 알 수 없음
$\therefore$ ㄱ, ㄷ
사고 흐름
① 문장을 조건 기호로 바꾼다
② 삼단논법으로 사슬을 잇는다
③ 대우는 참, 역은 알 수 없음
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
세 사람 A, B, C 중 한 명이 상을 받았다. 세 사람 중 한 명만 진실을 말했을 때, 상을 받은 사람을 구하시오.
A: 나는 상을 받지 않았다.
B: C가 상을 받았다.
C: B는 거짓말을 하고 있다.
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B와 C의 말은 하나가 참이면 다른 하나는 거짓
→ 진실은 B, C 중 한 명이므로 A의 말은 거짓
A의 말이 거짓이므로 A가 상을 받았다.
확인: B는 거짓, C는 참으로 진실은 1명
$\therefore$ A
사고 흐름
① 서로 반대인 진술 쌍을 먼저 찾는다
② 진실의 개수로 나머지 진술을 정한다
③ 답을 넣어 모든 진술을 다시 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T