공통수학2 · 명제
05 충분조건과 필요조건
개념
충분조건 $p\Rightarrow q$이면 $p$는 $q$이기 위한 충분조건
필요조건 이때 $q$는 $p$이기 위한 필요조건
필요충분조건 $p\Rightarrow q$, $q\Rightarrow p$이면 $p\Leftrightarrow q$
진리집합 충분 $P\subset Q$, 필요 $Q\subset P$, 필요충분 $P=Q$
자주 나오는 유형
유형 1 충분·필요·필요충분조건 판별빈출
문제 · 기본
실수 $x$에 대한 두 조건 $p$, $q$에서 $p$가 $q$이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $p: x=2$, $q: x^2=4$
ㄴ. $p: x>3$, $q: x>5$
ㄷ. $p: x^2=x$, $q: x=0$ 또는 $x=1$
해설 보기 ▸해설 접기 ▾
$p\Rightarrow q$이고 $q\not\Rightarrow p$인 것을 찾는다.
ㄱ. $x=2$이면 $x^2=4$, 역은 [반례] $x=-2$ → 충분조건
ㄴ. $x>5$이면 $x>3$ → $q\Rightarrow p$, 필요조건
ㄷ. $x^2=x$와 $x=0$ 또는 $x=1$은 같다 → 필요충분
$\therefore$ ㄱ
사고 흐름
① $p\rightarrow q$, $q\rightarrow p$를 각각 판정한다
② 한쪽만 참이면 충분 또는 필요
③ 화살표를 쏘는 쪽이 충분조건
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 실수 $x$, $y$에 대하여 세 조건 $p: |x+y|=|x|+|y|$, $q: xy>0$, $r: x^2+y^2=0$일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $q$는 $p$이기 위한 충분조건이다.
ㄴ. $r$은 $p$이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이다.
해설 보기 ▸해설 접기 ▾
$p$의 양변을 제곱하면 $xy=|xy|$, 즉 $xy\ge 0$
ㄱ. $xy>0$이면 $xy\ge 0$ → $q\Rightarrow p$, 참
ㄴ. $x=y=0$이면 $xy\ge 0$ → $r\Rightarrow p$, 참
ㄷ. [반례] $x=0$, $y=1$은 $p$이지만 $q$가 아니다.
$\therefore$ ㄱ, ㄴ
사고 흐름
① 절댓값 조건은 제곱해서 간단히 한다
② 세 조건을 같은 꼴($xy$의 부호)로 바꾼다
③ '$a$는 $b$이기 위한 충분' → $a\Rightarrow b$
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 충분·필요조건과 진리집합
문제 · 기본
세 조건 $p$, $q$, $r$의 진리집합 $P$, $Q$, $R$에 대하여 $P-Q=\varnothing$, $Q\cap R=Q$일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $p$는 $r$이기 위한 충분조건
ㄴ. $r$은 $q$이기 위한 필요조건
ㄷ. $q$는 $p$이기 위한 충분조건
해설 보기 ▸해설 접기 ▾
$P-Q=\varnothing$에서 $P\subset Q$, $Q\cap R=Q$에서 $Q\subset R$
$P\subset Q\subset R$
ㄱ. $P\subset R$ → 참 ㄴ. $Q\subset R$ → 참
ㄷ. $Q\subset P$인지 알 수 없다 → 거짓
$\therefore$ ㄱ, ㄴ
$U$
$R$
$Q$
$P$
사고 흐름
① 집합 등식을 포함 관계로 바꾼다
② '$a$는 $b$이기 위한 충분' ⇔ $A\subset B$
③ 필요조건은 포함 방향을 반대로 읽는다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
네 조건 $p$, $q$, $r$, $s$에 대하여 $p$는 $q$이기 위한 충분조건, $r$은 $q$이기 위한 필요조건, $\sim r$은 $s$이기 위한 필요조건일 때, 보기에서 항상 참인 명제만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $p\rightarrow r$
ㄴ. $s\rightarrow \sim p$
ㄷ. $r\rightarrow s$
해설 보기 ▸해설 접기 ▾
$p\Rightarrow q$, $q\Rightarrow r$, $s\Rightarrow \sim r$
ㄱ. $p\Rightarrow q\Rightarrow r$ → 참
ㄴ. $s\Rightarrow \sim r\Rightarrow \sim q\Rightarrow \sim p$ → 참
ㄷ. 오히려 $r\Rightarrow \sim s$ → 항상 참은 아니다
$\therefore$ ㄱ, ㄴ
사고 흐름
① 조건 문장을 $\Rightarrow$로 번역한다
② 대우까지 써서 사슬을 잇는다
③ 필요조건은 화살표가 거꾸로임에 주의
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 충분·필요조건과 방정식빈출
문제 · 기본
두 조건 $p: x=3$, $q: x^2+ax-6=0$에 대하여 $p$가 $q$이기 위한 충분조건일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
해설 보기 ▸해설 접기 ▾
$P=\{3\}$이고 $P\subset Q$이므로 $3$은 $q$의 해
$9+3a-6=0$에서 $a=-1$
확인: $x^2-x-6=0$의 해는 $3$, $-2$ → $P\subset Q$
$\therefore$ $a=-1$
사고 흐름
① 충분조건이면 $P\subset Q$
② 작은 집합의 원소를 큰 쪽 방정식에 대입한다
③ 구한 값으로 포함 관계를 다시 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
실수 $x$에 대한 두 조건 $p: x^2-3x+2=0$, $q: (x^2-3x+2)(x^2-k)=0$에 대하여 $p$가 $q$이기 위한 필요충분조건이 되도록 하는 정수 $k$의 최댓값을 구하시오.
해설 보기 ▸해설 접기 ▾
$P=\{1, 2\}$, $x^2=k$가 새 실근을 만들면 안 된다
$k>0$이면 $x=-\sqrt{k}<0$이 새 근 → 안 됨
$k=0$이면 $x=0$이 새 근 → 안 됨
$k<0$이면 실근이 없어 $P=Q$
$\therefore$ $-1$
사고 흐름
① 필요충분조건이면 $P=Q$
② 추가된 인수에서 실근이 생기는지 본다
③ 허근이거나 이미 있는 근이어야 한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 4 충분·필요조건과 부등식빈출
문제 · 기본
두 조건 $p: x^2-2x-15\le 0$, $q: |x+1|<k$에 대하여 $p$가 $q$이기 위한 필요조건이 되도록 하는 자연수 $k$의 개수를 구하시오.
해설 보기 ▸해설 접기 ▾
$P=\{x\mid -3\le x\le 5\}$, $Q=\{x\mid -1-k<x<-1+k\}$
$p$가 필요조건이므로 $Q\subset P$
$-1-k\ge -3$, $-1+k\le 5$에서 $k\le 2$
$\therefore$ $2$개
$P$
$Q$
$-1-k$
$-1+k$
$-3$
$5$
$x$
사고 흐름
① 필요조건이면 $Q\subset P$ (방향 주의)
② 수직선에서 $P$ 안에 $Q$를 넣는다
③ 열린 끝점은 같아도 되는지 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
세 조건 $p: 1\le x<4$, $q: x\ge a$, $r: x<b$에 대하여 $q$는 $p$이기 위한 필요조건이고, $\sim r$은 $\sim p$이기 위한 충분조건일 때, $a$의 최댓값과 $b$의 최솟값의 합을 구하시오.
해설 보기 ▸해설 접기 ▾
$q$는 $p$의 필요조건 → $P\subset Q$
$\sim r\Rightarrow \sim p$의 대우 $p\Rightarrow r$ → $P\subset R$
$a\le 1$, $b\ge 4$ ($b=4$여도 $4\notin P$) $\therefore$ $1+4=5$
$P$
$Q$
$R$
$a$
$1$
$4$
$b$
$x$
사고 흐름
① 각 문장을 포함 관계로 번역한다
② 부정이 있으면 대우로 바꿔 $P$ 기준으로
③ 끝점의 등호를 열림·닫힘으로 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T