공통수학2 · 명제

02 명제 $p \rightarrow q$의 참, 거짓

개념

가정과 결론 '$p$이면 $q$'에서 $p$는 가정, $q$는 결론

참 $P\subset Q$이면 명제 $p\rightarrow q$는 참

거짓 $P\not\subset Q$이면 거짓, 반례 하나면 충분

반례 $p$는 만족하고 $q$는 만족하지 않는 예, $P-Q$의 원소

자주 나오는 유형

유형 1명제의 참, 거짓 판별
유형 2거짓인 명제의 반례
유형 3진리집합의 포함 관계와 명제의 참, 거짓
유형 4명제가 참이 되도록 하는 미지수

유형 1 명제의 참, 거짓 판별

문제 · 기본

두 실수 $x$, $y$에 대하여 보기에서 참인 명제만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $x^2=4$이면 $x=2$

ㄴ. $x>1$이면 $x^2>1$

ㄷ. $xy=0$이면 $x=0$

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ㄱ. [반례] $x=-2$ → 거짓

ㄴ. $x>1$이면 $x^2-1=(x-1)(x+1)>0$ → 참

ㄷ. [반례] $x=1$, $y=0$ → 거짓

$\therefore$ ㄴ

사고 흐름

① 음수, 0 같은 반례 후보부터 넣어 본다

② 반례가 없으면 식을 변형해 확인한다

③ 반례가 하나라도 있으면 거짓

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

두 실수 $a$, $b$에 대하여 보기에서 참인 명제만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $a^3=b^3$이면 $a=b$

ㄴ. $a<b$이면 $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$

ㄷ. $a+b$와 $ab$가 모두 유리수이면 $a$도 유리수

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ㄱ. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=0$이고

$a^2+ab+b^2=0$은 $a=b=0$일 때뿐 → $a=b$, 참

ㄴ. [반례] $a=-1$, $b=1$ → 거짓

ㄷ. [반례] $a=\sqrt{2}$, $b=-\sqrt{2}$ → 거짓

$\therefore$ ㄱ

사고 흐름

① 분수·부등식은 부호가 다른 반례를 본다

② 유리수 조건은 $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$ 짝을 떠올린다

③ 반례가 안 보이면 인수분해로 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 거짓인 명제의 반례

문제 · 기본

전체집합 $U=\{x\mid x$는 $12$ 이하의 자연수$\}$에서 두 조건 $p: x$는 $12$의 약수, $q: x$는 짝수일 때, 명제 $p\rightarrow q$가 거짓임을 보이는 반례를 모두 구하시오.

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$P=\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$, $Q=\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$

반례는 $p$는 참, $q$는 거짓 → $P-Q$의 원소

$P-Q=\{1, 3\}$

$\therefore$ $1$, $3$

$U$

$P$

$Q$

$1$

$3$

$2$

$4$

$6$

$12$

$8$

$10$

$5$

$7$

$9$

$11$

사고 흐름

① 반례는 가정은 참, 결론은 거짓인 원소

② 반례의 집합은 $P-Q$

③ 진리집합을 원소로 나열해서 뺀다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

두 조건 $p: x^2-2x-8\le 0$, $q: |x-1|<k$에 대하여 명제 $p\rightarrow q$가 거짓임을 보이는 정수가 $-2$, $4$뿐일 때, 양수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

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$P=\{x\mid -2\le x\le 4\}$, $Q=\{x\mid 1-k<x<1+k\}$

$-1$, $3$은 $Q$ 안, $-2$, $4$는 $Q$ 밖

$1-k<-1$, $3<1+k$, $1-k\ge -2$에서

$\therefore$ $2<k\le 3$

$P$

$Q$

$1-k$

$1+k$

$-2$

$-1$

$3$

$4$

$x$

사고 흐름

① 반례는 $P-Q$에 속하는 원소

② 반례가 아닌 정수는 $Q$ 안, 반례는 $Q$ 밖

③ 끝점의 등호를 하나씩 대입해 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 진리집합의 포함 관계와 명제의 참, 거짓

문제 · 기본

두 조건 $p$, $q$의 진리집합 $P$, $Q$에 대하여 $P\cup Q=Q$일 때, 보기에서 항상 참인 명제만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $p\rightarrow q$

ㄴ. $q\rightarrow p$

ㄷ. $\sim q\rightarrow \sim p$

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$P\cup Q=Q$이므로 $P\subset Q$

ㄱ. $P\subset Q$ → 참

ㄴ. $Q\subset P$인지 알 수 없다 → 거짓

ㄷ. $P\subset Q$이면 $Q^C\subset P^C$ → 참

$\therefore$ ㄱ, ㄷ

사고 흐름

① 집합 등식을 포함 관계로 바꾼다

② 명제 $a\rightarrow b$는 $A\subset B$인지 본다

③ 부정이 있으면 여집합끼리 비교한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

세 조건 $p$, $q$, $r$의 진리집합 $P$, $Q$, $R$에 대하여 $P-Q=\varnothing$, $Q\cap R=\varnothing$일 때, 보기에서 항상 참인 명제만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $p\rightarrow \sim r$

ㄴ. $r\rightarrow \sim q$

ㄷ. $\sim p\rightarrow r$

ㄹ. $q\rightarrow p$

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$P-Q=\varnothing$에서 $P\subset Q$

$Q\cap R=\varnothing$에서 $R\subset Q^C$, 즉 $P\subset Q\subset R^C$

ㄱ. $P\subset R^C$ → 참 ㄴ. $R\subset Q^C$ → 참

ㄷ. $P^C\subset R$인지 알 수 없다 → 거짓

ㄹ. $Q\subset P$인지 알 수 없다 → 거짓

$\therefore$ ㄱ, ㄴ

$U$

$Q$

$P$

$R$

사고 흐름

① 등식을 포함 관계로 바꿔 한 그림에 그린다

② $Q\cap R=\varnothing$은 $R\subset Q^C$로 쓴다

③ 그림에서 반드시 성립하는 것만 고른다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 명제가 참이 되도록 하는 미지수

문제 · 기본

두 조건 $p: |x-a|\le 1$, $q: -2\le x\le 5$에 대하여 명제 $p\rightarrow q$가 참이 되도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.

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$P=\{x\mid a-1\le x\le a+1\}$

$p\rightarrow q$가 참이려면 $P\subset Q$

$a-1\ge -2$, $a+1\le 5$에서 $-1\le a\le 4$

$\therefore$ $6$개

$Q$

$P$

$a-1$

$a+1$

$-2$

$5$

$x$

사고 흐름

① 두 조건을 구간으로 나타낸다

② 참이면 $P\subset Q$, 수직선에 그린다

③ 끝점이 같아도 되는지 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

두 조건 $p: |x-k|\le 1$, $q: x^2-6x+5\le 0$에 대하여 명제 $p\rightarrow q$와 $p\rightarrow \sim q$가 모두 거짓이 되도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

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$P=\{x\mid k-1\le x\le k+1\}$, $Q=\{x\mid 1\le x\le 5\}$

$P\not\subset Q$이고 $P\cap Q\neq\varnothing$

$P\subset Q$: $2\le k\le 4$, $P\cap Q\neq\varnothing$: $0\le k\le 6$

$k=0, 1, 5, 6$ $\therefore$ $4$개

$Q$

$P$

$k-1$

$k+1$

$1$

$5$

$x$

사고 흐름

① $p\rightarrow q$ 거짓이면 $P\not\subset Q$

② $p\rightarrow \sim q$ 거짓이면 $P\cap Q\neq\varnothing$

③ 겹치되 들어가지는 않는 범위를 센다

DOYEONMATH · 김도연T