공통수학2 · 명제
03 '모든' 또는 '어떤'을 포함한 명제
개념
모든 '모든 $x$에 대하여 $p$'는 $P=U$일 때 참
어떤 '어떤 $x$에 대하여 $p$'는 $P\neq\varnothing$일 때 참
부정 '모든' ↔ '어떤'으로 바꾸고 $p$를 $\sim p$로
판별식 모든 실수 $x$에서 $x^2+bx+c>0$이면 $D<0$
자주 나오는 유형
유형 1 '모든 / 어떤' 명제의 참, 거짓과 부정
문제 · 기본
전체집합 $U=\{-1, 0, 1, 2\}$에 대하여 보기에서 참인 명제만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. 모든 $x$에 대하여 $x^2\ge 0$
ㄴ. 모든 $x$에 대하여 $x+1>0$
ㄷ. 어떤 $x$에 대하여 $x^2=2x$
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ㄱ. 모든 원소에서 $x^2\ge 0$ → 참
ㄴ. [반례] $x=-1$이면 $x+1=0$ → 거짓
ㄷ. $x=0$이면 $0=0$ → 참
$\therefore$ ㄱ, ㄷ
사고 흐름
① 전체집합의 원소를 하나씩 넣어 본다
② '모든'은 반례 하나면 거짓
③ '어떤'은 예 하나면 참
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
전체집합 $U=\{1, 2, 3, 4\}$에 대하여 보기의 명제 중 그 부정이 참인 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. 모든 $x$에 대하여 $x^2>x$
ㄴ. 어떤 $x$에 대하여 $x+3>7$
ㄷ. 어떤 $x$에 대하여 $x^2-5x+6=0$
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명제가 거짓이면 그 부정이 참이다.
ㄱ. $x=1$이면 $1>1$이 거짓 → 명제 거짓, 부정 참
ㄴ. $x>4$인 원소가 없다 → 명제 거짓, 부정 참
ㄷ. $x=2$이면 성립 → 명제 참, 부정 거짓
$\therefore$ ㄱ, ㄴ
사고 흐름
① 부정을 쓰기보다 원래 명제를 판정한다
② 명제가 거짓이면 부정은 참
③ '모든'은 반례, '어떤'은 예를 찾는다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 '모든 / 어떤' 명제가 참이 되는 미지수
문제 · 기본
명제 '모든 실수 $x$에 대하여 $x^2-4x+k>0$이다.'가 참이 되도록 하는 정수 $k$의 최솟값을 구하시오.
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$x^2-4x+k=0$의 판별식을 $D$라 하면
모든 실수에서 $x^2-4x+k>0$이려면 $D<0$
$\dfrac{D}{4}=4-k<0$에서 $k>4$
$\therefore$ $5$
사고 흐름
① 모든 실수에서 양수 → 그래프가 $x$축 위
② $>0$이면 $D<0$, $\ge 0$이면 $D\le 0$
③ 판별식으로 범위를 구하고 정수를 고른다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
명제 '모든 실수 $x$에 대하여 $kx^2-2kx+3>0$이다.'가 참이 되도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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(i) $k=0$이면 $3>0$ → 참
(ii) $k\neq 0$이면 $k>0$이고 $D<0$
$\dfrac{D}{4}=k^2-3k<0$에서 $0<k<3$
$k=0, 1, 2$ $\therefore$ $3$개
사고 흐름
① 최고차항 계수가 문자면 $0$인 경우부터 본다
② 이차식이면 아래로 볼록($k>0$)이고 $D<0$
③ 두 경우를 합쳐서 센다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 범위가 제한된 '모든 / 어떤' 명제
문제 · 기본
명제 '$3\le x\le 5$인 모든 실수 $x$에 대하여 $x^2-4x+k\ge 0$이다.'가 참이 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
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$f(x)=x^2-4x+k=(x-2)^2+k-4$
꼭짓점 $x=2$는 범위 밖 → $x=3$에서 최솟값
$f(3)=k-3\ge 0$에서 $k\ge 3$
$\therefore$ $3$
$f(3)$
$2$
$3$
$5$
$x$
$y$
사고 흐름
① 범위가 있으면 판별식이 아니라 최솟값을 본다
② 꼭짓점이 범위 안인지 확인한다
③ 범위에서의 최솟값 $\ge 0$으로 식을 세운다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
명제 '$k\le x<k+1$인 어떤 실수 $x$에 대하여 $x^2-2x-8<0$이다.'가 참이 되도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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$x^2-2x-8<0$에서 $-2<x<4$
두 범위가 공통부분을 가져야 한다
$k<4$이고 $k+1>-2$에서 $-3<k<4$
$k=-2, -1, \cdots, 3$ $\therefore$ $6$개
$-2<x<4$
$k$
$k+1$
$-2$
$4$
$x$
사고 흐름
① '범위 안의 어떤 $x$' → 두 집합이 겹친다
② 수직선에 두 구간을 그린다
③ 끝점이 열려 있는지 보며 조건을 세운다
DOYEONMATH · 김도연T