미적분1 · 적분
04 대칭성과 주기를 이용한 정적분
개념
$f(-x)=f(x)$ $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx$
$f(-x)=-f(x)$ $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0$
다항식 $\int_{-a}^{a}$에서 홀수 차수 항은 지우고 짝수 차수 항만 $2\int_0^a$
$f(x+p)=f(x)$ 길이가 $p$인 구간의 정적분은 모두 같다
자주 나오는 유형
유형 1 $f(-x)=\pm f(x)$인 함수의 정적분빈출
문제 · 기본
정적분 $\int_{-2}^{2}(x^3+3x^2-4x+1)\,dx$의 값을 구하시오.
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홀수 차수 항 $x^3$, $-4x$는 $0$
$2\int_{0}^{2}(3x^2+1)\,dx=2\Big[x^3+x\Big]_{0}^{2}$
$=2\times10=$ $20$
사고 흐름
① 적분 구간이 $[-a, a]$인지 본다
② 홀수 차수 항은 지우고 짝수 차수 항만 남긴다
③ $2\int_0^a$로 바꿔 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x)=-f(x)$를 만족시키고 $\int_{0}^{2}xf(x)\,dx=3$일 때, $\int_{-2}^{2}(x+5)\{f(x)+x^2\}dx$의 값을 구하시오.
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피적분함수 $=xf(x)+5f(x)+x^3+5x^2$
$xf(x)$, $x^2$은 $f(-x)=f(x)$ 꼴, $f(x)$, $x^3$은 $f(-x)=-f(x)$ 꼴
$=2\int_{0}^{2}xf(x)\,dx+2\int_{0}^{2}5x^2\,dx$
$=6+\frac{80}{3}=$ $\frac{98}{3}$
사고 흐름
① 피적분함수를 전개해 항마다 대칭성을 판단한다
② $f$가 $f(-x)=-f(x)$이면 $xf(x)$는 $f(-x)=f(x)$ 꼴이다
③ 원점 대칭인 항은 지우고 나머지는 $2\int_0^a$
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 $f(x+p)=f(x)$인 함수의 정적분
문제 · 기본
함수 $f(x)$가 $0\le x\le 2$에서 $f(x)=x(2-x)$이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+2)=f(x)$일 때, $\int_{0}^{6}f(x)\,dx$의 값을 구하시오.
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$\int_{0}^{2}x(2-x)\,dx=\Big[x^2-\frac{1}{3}x^3\Big]_{0}^{2}=\frac{4}{3}$
$[0, 6]$은 길이 $2$인 구간 $3$개
$\therefore$ $3\times\frac{4}{3}=$ $4$
사고 흐름
① 한 주기 구간에서 정적분을 구한다
② 적분 구간에 주기가 몇 번 들어가는지 센다
③ 한 주기 값에 개수를 곱한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x)=f(x)$, $f(x+4)=f(x)$를 만족시키고 $\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=6$, $\int_{0}^{1}f(x)\,dx=1$일 때, $\int_{1}^{11}f(x)\,dx$의 값을 구하시오.
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$\int_{0}^{2}f(x)\,dx=3$, $\int_{1}^{2}f(x)\,dx=2$
$\int_{1}^{9}f(x)\,dx=2\times6=12$ (길이 $4$인 구간 $2$개)
$\int_{9}^{11}f=\int_{1}^{3}f=\int_{1}^{2}f+\int_{-2}^{-1}f=2+2$
$\therefore$ $12+4=$ $16$
사고 흐름
① 길이가 주기인 구간은 어디서 시작해도 값이 같다
② 남는 구간은 주기만큼 옮겨 아는 구간으로 바꾼다
③ $y$축 대칭으로 음수 쪽 구간을 양수 쪽으로 옮긴다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 대칭 조건이 주어진 함수의 정적분
문제 · 기본
연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(2+x)=f(2-x)$를 만족시키고 $\int_{0}^{2}f(x)\,dx=5$, $\int_{0}^{1}f(x)\,dx=2$일 때, $\int_{1}^{4}f(x)\,dx$의 값을 구하시오.
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그래프가 직선 $x=2$에 대하여 대칭이므로 $\int_{2}^{4}f=\int_{0}^{2}f=5$
$\int_{1}^{2}f(x)\,dx=5-2=3$
$\therefore$ $\int_{1}^{4}f(x)\,dx=3+5=$ $8$
사고 흐름
① $f(a+x)=f(a-x)$는 직선 $x=a$ 대칭이다
② 대칭인 두 구간의 정적분은 같다
③ 구하는 구간을 아는 구간으로 나눈다
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문제 · 심화
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)+f(-x)=2x^2+1$을 만족시킬 때, $\int_{-2}^{2}\{f(x)+x^3\}dx$의 값을 구하시오.
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$\int_{-2}^{2}x^3\,dx=0$
$\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=\int_{0}^{2}f(-x)\,dx$ (그래프를 $y$축 대칭)
$\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=\int_{0}^{2}\{f(x)+f(-x)\}dx=\int_{0}^{2}(2x^2+1)\,dx$
$=\frac{16}{3}+2=$ $\frac{22}{3}$
사고 흐름
① $f(x)$를 몰라도 $f(x)+f(-x)$만 알면 된다
② 음수 구간을 $y$축 대칭으로 옮겨 $f(-x)$로 바꾼다
③ $\int_0^a\{f(x)+f(-x)\}dx$로 합친다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 4 주기·대칭을 이용한 도형의 넓이
문제 · 기본
함수 $f(x)$가 $-1\le x\le 1$에서 $f(x)=1-x^2$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+2)=f(x)$이다. 곡선 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=0$, $x=5$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
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$f(x)\ge 0$이므로 넓이 $=\int_{0}^{5}f(x)\,dx$
$\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{4}{3}$, $\int_{0}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{2}{3}$
$[0, 5]=[0, 1]+$ 한 주기 $2$개
$\therefore$ $\frac{2}{3}+2\times\frac{4}{3}=$ $\frac{10}{3}$
$x$
$y$
$O$
$1$
$3$
$5$
$1$
사고 흐름
① 그래프가 $x$축 위에 있는지 확인해 넓이를 정적분으로 쓴다
② 적분 구간을 한 주기 구간과 남는 구간으로 나눈다
③ 남는 구간은 대칭으로 한 주기의 절반임을 이용한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
연속함수 $f(x)$가 $0\le x\le 1$에서 $f(x)=x^2$이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x)=f(x)$, $f(1+x)=f(1-x)$를 만족시킨다. 곡선 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=-3$, $x=3$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
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$f(1+x)=f(1-x)$에서 $1\le x\le2$일 때 $f(x)=(2-x)^2$
$f(x+2)=f(1+(x+1))=f(-x)=f(x)$: 주기 $2$
$\int_{0}^{2}f=\frac{2}{3}$, $\int_{0}^{3}f=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$
$\therefore$ 넓이 $=2\int_{0}^{3}f(x)\,dx=$ $2$
사고 흐름
① 두 대칭 조건을 합쳐 주기를 찾는다
② 한 주기 안의 그래프를 대칭으로 완성한다
③ $y$축 대칭으로 $[0, 3]$의 넓이를 두 배 한다
DOYEONMATH · 김도연T