미적분1 · 적분

03 정적분의 뜻과 계산

개념

미적분의 기본정리 $\int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)$

성질 ⑴ $\int_a^b\{kf(x)\pm g(x)\}dx=k\int_a^b f(x)\,dx\pm\int_a^b g(x)\,dx$

성질 ⑵ $\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$

구간 나누기 식이 바뀌는 점, 절댓값 안이 $0$인 점에서 나눈다

자주 나오는 유형

유형 1미적분의 기본정리
유형 2정적분의 성질 — 적분 구간이 같을 때
유형 3정적분의 성질 — 피적분함수가 같을 때
유형 4구간별로 정의된 함수의 정적분
유형 5절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분
유형 6$\int_a^b f'(x)\,dx$를 이용한 계산
유형 7새롭게 정의된 함수의 정적분

유형 1 미적분의 기본정리

문제 · 기본

정적분 $\int_{-1}^{2}(3x^2-2x+1)\,dx$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

한 부정적분 $F(x)=x^3-x^2+x$

$\Big[x^3-x^2+x\Big]_{-1}^{2}=(8-4+2)-(-1-1-1)$

$=6+3=$ $9$

사고 흐름

① 피적분함수의 한 부정적분을 구한다 (적분상수 생략)

② 위끝을 넣은 값에서 아래끝을 넣은 값을 뺀다

③ 음수 대입은 괄호로 묶어 부호를 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

$\int_{1}^{k}(6-2x)\,dx$의 값이 최대가 되도록 하는 실수 $k$의 값을 $a$, 그때의 최댓값을 $b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

$\int_{1}^{k}(6-2x)\,dx=\Big[6x-x^2\Big]_{1}^{k}=6k-k^2-5$

$=-(k-3)^2+4$

$k=3$일 때 최댓값 $4$이므로 $a=3$, $b=4$

$\therefore$ $a+b=$ $7$

사고 흐름

① 위끝이 문자여도 기본정리로 $k$의 식을 만든다

② $k$에 대한 이차식을 완전제곱식으로 바꾼다

③ 꼭짓점에서 최댓값을 읽는다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 정적분의 성질 — 적분 구간이 같을 때

문제 · 기본

$\int_{0}^{2}(x^3+2x)\,dx-\int_{0}^{2}(x^3-x^2)\,dx$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

구간이 같으므로 피적분함수끼리 뺀다

$\int_{0}^{2}(x^2+2x)\,dx=\Big[\frac{1}{3}x^3+x^2\Big]_{0}^{2}$

$=\frac{8}{3}+4=$ $\frac{20}{3}$

사고 흐름

① 적분 구간이 같은지 먼저 본다

② 하나의 정적분으로 합쳐 지워지는 항을 없앤다

③ 남은 식만 적분한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

두 연속함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 $\int_{0}^{3}\{f(x)+g(x)\}dx=10$, $\int_{0}^{3}\{f(x)-g(x)\}dx=4$일 때, $\int_{0}^{3}\{3f(x)-2g(x)\}dx$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

$\int_{0}^{3}f(x)\,dx=A$, $\int_{0}^{3}g(x)\,dx=B$로 놓으면

$A+B=10$, $A-B=4$이므로 $A=7$, $B=3$

$\int_{0}^{3}\{3f(x)-2g(x)\}dx=3A-2B$

$=21-6=$ $15$

사고 흐름

① 같은 구간의 정적분은 실수배·합·차로 나눌 수 있다

② 각 정적분을 문자로 놓고 연립한다

③ 구하는 식도 같은 문자로 나타낸다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 정적분의 성질 — 피적분함수가 같을 때

문제 · 기본

$\int_{-1}^{1}(3x^2+2x)\,dx+\int_{1}^{2}(3x^2+2x)\,dx$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

피적분함수가 같으므로 구간을 이어 붙인다

$\int_{-1}^{2}(3x^2+2x)\,dx=\Big[x^3+x^2\Big]_{-1}^{2}$

$=12-0=$ $12$

사고 흐름

① 피적분함수가 같은지 본다

② 앞 구간의 위끝과 뒤 구간의 아래끝이 같으면 잇는다

③ 하나의 정적분으로 계산한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

연속함수 $f(x)$에 대하여 $\int_{-2}^{1}f(x)\,dx=7$, $\int_{0}^{3}f(x)\,dx=5$, $\int_{1}^{3}f(x)\,dx=2$일 때, $\int_{-2}^{0}\{f(x)-3x^2\}dx$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

$\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\int_{0}^{3}f(x)\,dx-\int_{1}^{3}f(x)\,dx=3$

$\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=\int_{-2}^{1}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx=4$

$\int_{-2}^{0}3x^2\,dx=\Big[x^3\Big]_{-2}^{0}=8$

$\therefore$ $4-8=$ $-4$

사고 흐름

① 구하는 구간을 주어진 구간들의 합·차로 만든다

② 겹치는 구간 $[0, 1]$을 먼저 구한다

③ 다항식 부분은 따로 계산해 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 구간별로 정의된 함수의 정적분

문제 · 기본

함수 $f(x)=\begin{cases}x^2+1 & (x\le 1)\\ 3x-1 & (x>1)\end{cases}$에 대하여 $\int_{0}^{2}f(x)\,dx$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

$x=1$에서 구간을 나눈다

$\int_{0}^{1}(x^2+1)\,dx=\frac{4}{3}$

$\int_{1}^{2}(3x-1)\,dx=\Big[\frac{3}{2}x^2-x\Big]_{1}^{2}=\frac{7}{2}$

$\therefore$ $\frac{4}{3}+\frac{7}{2}=$ $\frac{29}{6}$

사고 흐름

① 식이 바뀌는 $x$의 값이 적분 구간 안에 있는지 본다

② 그 점을 경계로 정적분을 나눈다

③ 구간마다 맞는 식으로 적분해 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=\begin{cases}x^2+a & (x<1)\\ 2x+1 & (x\ge 1)\end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $\int_{0}^{3}f(x)\,dx$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

$x=1$에서 연속: $1+a=3$, $a=2$

$\int_{0}^{1}(x^2+2)\,dx=\frac{7}{3}$

$\int_{1}^{3}(2x+1)\,dx=\Big[x^2+x\Big]_{1}^{3}=10$

$\therefore$ $\frac{7}{3}+10=$ $\frac{37}{3}$

사고 흐름

① 연속 조건으로 미지수를 먼저 구한다

② 경계 $x=1$에서 정적분을 나눈다

③ 각 구간의 값을 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 5 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분

문제 · 기본

정적분 $\int_{-1}^{3}|2x-2|\,dx$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

$2x-2=0$인 $x=1$에서 구간을 나눈다

$\int_{-1}^{1}(2-2x)\,dx=\Big[2x-x^2\Big]_{-1}^{1}=4$

$\int_{1}^{3}(2x-2)\,dx=\Big[x^2-2x\Big]_{1}^{3}=4$

$\therefore$ $4+4=$ $8$

사고 흐름

① 절댓값 안이 $0$이 되는 $x$를 찾는다

② 부호에 따라 절댓값을 풀어 구간별 식을 쓴다

③ 구간마다 적분해 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

$0\le a\le 2$일 때, $\int_{0}^{2}|x-a|\,dx$의 최솟값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

$x=a$에서 나누면 $\int_{0}^{a}(a-x)\,dx+\int_{a}^{2}(x-a)\,dx$

$=\frac{a^2}{2}+\frac{(2-a)^2}{2}$

$=a^2-2a+2=(a-1)^2+1$

$a=1$일 때 최솟값 $1$

사고 흐름

① 경계 $x=a$가 구간 안에 있으니 거기서 나눈다

② 결과를 $a$에 대한 이차식으로 정리한다

③ 완전제곱식으로 최솟값을 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 $\int_a^b f'(x)\,dx$를 이용한 계산

문제 · 기본

함수 $f(x)=x^3-2x^2+5$에 대하여 $\int_{1}^{3}f'(x)\,dx$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

$f(x)$는 $f'(x)$의 한 부정적분

$\int_{1}^{3}f'(x)\,dx=f(3)-f(1)$

$=14-4=$ $10$

사고 흐름

① $f'(x)$의 부정적분은 $f(x)$다

② 미분하지 않고 바로 $f(b)-f(a)$로 계산한다

③ 함숫값만 대입한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$에 대하여 $\int_{0}^{3}f'(x)\,dx=9$, $\int_{-1}^{3}f'(x)\,dx=8$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

$f(3)-f(0)=9$, $f(3)-f(-1)=8$

$f(0)=1$이므로 $f(3)=10$, $f(-1)=2$

$28+9a+3b=10$, $a-b=2$ → $a=-1$, $b=-3$

$\therefore$ $f(2)=8-4-6+1=$ $-1$

사고 흐름

① $\int_a^b f'(x)\,dx$는 함숫값의 차로 바꾼다

② 알고 있는 $f(0)$부터 차례로 함숫값을 구한다

③ 함숫값으로 계수를 연립한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 7 새롭게 정의된 함수의 정적분

문제 · 기본

실수 $x$에 대하여 $x$와 $x^2$ 중 작지 않은 값을 $g(x)$라 할 때, $\int_{0}^{2}g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

$0\le x\le 1$이면 $x\ge x^2$, $1\le x\le 2$이면 $x^2\ge x$

$g(x)=x$ ($0\le x\le1$), $g(x)=x^2$ ($1\le x\le2$)

$\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{1}^{2}x^2\,dx=\frac{1}{2}+\frac{7}{3}$

$=$ $\frac{17}{6}$

사고 흐름

① 두 식의 대소가 바뀌는 점(교점)을 찾는다

② 구간마다 $g(x)$의 식을 정한다

③ 구간별로 적분해 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

실수 $t$에 대하여 $0\le x\le 1$에서 함수 $f(x)=x^2-2tx$의 최솟값을 $g(t)$라 할 때, $\int_{-1}^{2}g(t)\,dt$의 값을 구하시오.

해설 보기 ▸해설 접기 ▾

꼭짓점 $x=t$의 위치로 나눈다

$g(t)=0$ ($t\le0$), $-t^2$ ($0<t<1$), $1-2t$ ($t\ge1$)

$0+\int_{0}^{1}(-t^2)\,dt+\int_{1}^{2}(1-2t)\,dt=-\frac{1}{3}-2$

$=$ $-\frac{7}{3}$

사고 흐름

① 꼭짓점이 구간 왼쪽·안·오른쪽인 경우로 나눈다

② 경우마다 최솟값 $g(t)$의 식을 쓴다

③ $g(t)$가 바뀌는 점에서 정적분을 나눈다

DOYEONMATH · 김도연T