미적분1 · 미분
10 부등식에의 활용
개념
항상 성립 구간에서 $f(x)\ge0$ ⇔ 그 구간에서 ($f$의 최솟값) $\ge0$
두 함수 $f(x)\ge g(x)$ ⇔ $h(x)=f(x)-g(x)\ge0$
증명 $h(x)$의 최솟값이 $0$ 이상임을 보인다
자주 나오는 유형
유형 1 모든 실수 $x$에 대하여 성립하는 부등식
문제 · 기본
모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^4-4x+k\ge0$이 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
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$f(x)=x^4-4x+k$, $f'(x)=4(x^3-1)$
$x=1$에서 최솟값 $f(1)=k-3$
$k-3\ge0$
$\therefore$ 최솟값 $3$
사고 흐름
① 모든 실수에서 성립 ⇔ 최솟값 $\ge0$
② 도함수로 최솟값을 구한다
③ 부등식을 풀어 $k$의 범위를 얻는다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $3x^4-4x^3+k>0$이 성립하도록 하는 정수 $k$의 최솟값을 구하시오.
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$f'(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)$
$x=0$에서는 부호가 안 바뀌고, $x=1$에서 최소: $f(1)=k-1$
$k-1>0$에서 $k>1$
$\therefore$ 정수 $k$의 최솟값 $2$
사고 흐름
① $f'=0$의 근 중 극소인 곳을 찾는다
② 중근 $x=0$은 극값이 아니다
③ 등호가 없으므로 최솟값 $>0$
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 주어진 구간에서 성립하는 부등식빈출
문제 · 기본
$x\ge0$일 때 부등식 $x^3-3x^2+k\ge0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.
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$f'(x)=3x(x-2)$
$x\ge0$에서 최솟값 $f(2)=k-4$
$k-4\ge0$
$\therefore$ 최솟값 $4$
사고 흐름
① 주어진 구간에서만 최솟값을 구한다
② 구간 안의 극솟값과 끝값을 비교한다
③ 최솟값 $\ge0$으로 범위를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$-1\le x\le3$에서 부등식 $2x^3-3x^2-12x+k\le0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최댓값을 구하시오.
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$f'(x)=6(x+1)(x-2)$
$f(-1)=k+7$, $f(2)=k-20$, $f(3)=k-9$
구간에서 최댓값 $k+7\le0$
$\therefore$ $k$의 최댓값 $-7$
사고 흐름
① $\le0$이 항상 성립 ⇔ 최댓값 $\le0$
② 구간 끝값까지 모두 비교한다
③ 최댓값 조건으로 $k$를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 부등식 $f(x)>g(x)$의 해와 활용
문제 · 기본
두 함수 $f(x)=x^3+5$, $g(x)=3x^2+9x+k$에 대하여 $x\ge0$일 때 $f(x)>g(x)$가 항상 성립하도록 하는 정수 $k$의 최댓값을 구하시오.
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$h(x)=f(x)-g(x)=x^3-3x^2-9x+5-k$
$h'(x)=3(x+1)(x-3)$이므로 $x\ge0$에서 최솟값 $h(3)=-22-k$
$-22-k>0$에서 $k<-22$
$\therefore$ 정수 $k$의 최댓값 $-23$
사고 흐름
① 두 함수의 차 $h=f-g$를 만든다
② 구간에서 $h$의 최솟값을 구한다
③ 최솟값 $>0$으로 $k$를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
부등식 $x^3-3x^2+k\ge0$의 해가 $x\ge-1$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.
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해의 경계 $x=-1$에서 등호: $f(-1)=-4+k=0$, $k=4$
$x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2$
$(x-2)^2\ge0$이므로 $f(x)\ge0$ ⇔ $x\ge-1$
$\therefore$ $k=$ $4$
사고 흐름
① 해의 경계에서 $f(x)=0$이다
② $k$를 구해 인수분해한다
③ 부호를 확인해 해가 정말 $x\ge-1$인지 본다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 4 부등식의 증명
문제 · 기본
$x>0$일 때, 부등식 $x^3+2\ge3x$가 성립함을 보이고, 등호가 성립하는 $x$의 값을 구하시오.
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$h(x)=x^3-3x+2$, $h'(x)=3(x+1)(x-1)$
$x>0$에서 최솟값 $h(1)=0$이므로 $h(x)\ge0$
$h(x)=(x-1)^2(x+2)$, 등호는 $x=1$
$\therefore$ $1$
사고 흐름
① (좌변) $-$ (우변)을 함수로 놓는다
② 구간에서 최솟값이 $0$ 이상임을 보인다
③ 최솟값을 갖는 점에서 등호가 성립한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
모든 양수 $x$에 대하여 부등식 $2x^3-3ax^2+1\ge0$이 성립하도록 하는 양수 $a$의 최댓값을 구하시오.
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$h(x)=2x^3-3ax^2+1$, $h'(x)=6x(x-a)$
$x>0$에서 최솟값 $h(a)=1-a^3$
$1-a^3\ge0$에서 $a\le1$
$\therefore$ 최댓값 $1$
사고 흐름
① $x>0$에서 극소가 되는 점을 $a$로 나타낸다
② 최솟값을 $a$의 식으로 쓴다
③ 최솟값 $\ge0$을 푼다
DOYEONMATH · 김도연T