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미적분1 · 미분

11 속도와 가속도

개념
속도·가속도 $v=\frac{dx}{dt}$, $a=\frac{dv}{dt}$, 속력은 $|v|$
운동 방향 $v$의 부호가 바뀌는 순간 방향이 바뀐다 ($v=0$은 정지)
변화율 길이·넓이·부피를 $t$의 식으로 쓰고 $t$로 미분 [교과서 밖]
자주 나오는 유형

유형 1 속도와 가속도

문제 · 기본
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 위치가 $x=t^3-6t^2+5t$일 때, $t=2$에서의 속도와 가속도의 합을 구하시오.
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$v=3t^2-12t+5$, $a=6t-12$
$t=2$: $v=-7$, $a=0$
$\therefore$ $-7$
사고 흐름
① 위치를 미분하면 속도
② 속도를 미분하면 가속도
③ 주어진 시각을 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 위치가 $x=t^3-9t^2+15t$일 때, 가속도가 $0$인 순간의 속도를 구하시오.
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$v=3t^2-18t+15$, $a=6t-18$
$a=0$에서 $t=3$
$v(3)=27-54+15$
$=$ $-12$
사고 흐름
① 가속도의 식을 세워 $0$이 되는 시각을 구한다
② 그 시각을 속도의 식에 넣는다
③ 부호까지 답한다 (속력과 구분)
DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 속도·가속도와 운동 방향빈출

문제 · 기본
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ ($t\ge0$)에서의 위치가 $x=t^3-6t^2+9t$일 때, 점 P가 운동 방향을 바꾸는 시각의 합을 구하시오.
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$v=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$
$t=1$, $3$의 좌우에서 $v$의 부호가 바뀐다
$\therefore$ $1+3=$ $4$
사고 흐름
① 속도를 구한다
② $v=0$이고 부호가 바뀌는 시각을 찾는다
③ 부호가 안 바뀌면 방향 전환이 아니다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 위치가 $x=2t^3-9t^2+12t$일 때, 점 P가 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 순간의 위치를 구하시오.
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$v=6t^2-18t+12=6(t-1)(t-2)$
방향을 바꾸는 시각 $t=1$, $2$ → 두 번째는 $t=2$
$x(2)=16-36+24$
$=$ $4$
사고 흐름
① 방향이 바뀌는 시각을 모두 구한다
② 순서대로 두 번째 시각을 고른다
③ 위치 식에 대입한다
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유형 3 두 점의 운동

문제 · 기본
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t$에서의 위치가 각각 $x_{\rm P}=t^2-4t$, $x_{\rm Q}=-t^2+2t$일 때, 두 점이 출발 후 다시 만나는 시각을 구하시오.
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만난다 ⇔ 위치가 같다: $t^2-4t=-t^2+2t$
$2t^2-6t=0$, $t(t-3)=0$
$t>0$이므로 $t=$ $3$
사고 흐름
① 두 점의 위치를 같게 놓는다
② 방정식을 푼다
③ 출발 시각 $t=0$은 뺀다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t$에서의 위치가 각각 $x_{\rm P}=t^2-4t$, $x_{\rm Q}=-t^2+2t$일 때, 두 점이 같은 방향으로 움직이는 시간의 길이를 구하시오.
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$v_{\rm P}=2t-4$, $v_{\rm Q}=-2t+2$
같은 방향 ⇔ $v_{\rm P}v_{\rm Q}>0$: $-4(t-2)(t-1)>0$
$1<t<2$
$\therefore$ $1$
사고 흐름
① 두 점의 속도를 각각 구한다
② 같은 방향 ⇔ 속도의 부호가 같다
③ 곱이 양수인 시간을 구한다
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유형 4 속도·가속도의 실생활 활용

문제 · 기본
직선 도로를 달리던 자동차가 브레이크를 밟은 후 $t$초 동안 움직인 거리가 $x=20t-2t^2$ (m)일 때, 브레이크를 밟은 후 정지할 때까지 움직인 거리를 구하시오.
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$v=20-4t$
정지 ⇔ $v=0$: $t=5$
$x(5)=100-50=$ $50$ m
사고 흐름
① 정지하는 순간은 속도가 $0$
② 그 시각을 구한다
③ 위치 식에 대입해 거리를 구한다
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문제 · 심화
지면으로부터 $25$ m 높이에서 위로 던진 공의 $t$초 후의 높이가 $h=25+20t-5t^2$ (m)일 때, 공이 지면에 떨어지는 순간의 속력을 구하시오.
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$h=0$: $t^2-4t-5=0$, $t=5$ ($t>0$)
$v=20-10t$, $v(5)=-30$
속력은 $|v|$
$\therefore$ $30$ m/s
사고 흐름
① 지면에 닿는 시각은 높이 $=0$
② 그 시각의 속도를 구한다
③ 속력은 속도의 절댓값
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유형 5 위치·속도 그래프의 해석

문제 · 기본
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 위치 $x(t)=t(t-2)^2$의 그래프가 그림과 같다. $0<t<4$에서 점 P가 운동 방향을 바꾸는 횟수를 구하시오.
$t$
$x$
$O$
$2$
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위치 그래프의 접선의 기울기 $=$ 속도
$v=x'(t)=(t-2)(3t-2)$
$t=\frac23$, $2$에서 부호가 바뀐다
$\therefore$ $2$번
사고 흐름
① 위치 그래프에서 기울기의 부호가 속도의 부호
② 그래프의 극대·극소에서 방향이 바뀐다
③ 식으로 확인해 횟수를 센다
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문제 · 심화
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)=t^2-4t+3$의 그래프가 그림과 같을 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $t=2$에서 가속도는 $0$이다.
ㄴ. $0<t<2$에서 운동 방향을 한 번 바꾼다.
ㄷ. $t=3$에서 운동 방향을 바꾼다.
$t$
$v$
$O$
$1$
$3$
$3$
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ㄱ. $a=v'(t)=2t-4$, $a(2)=0$ (참)
ㄴ. $v=0$인 시각은 $t=1$, $3$ → $0<t<2$에서 한 번 (참)
ㄷ. $t=3$ 좌우에서 $v$의 부호가 $-\to+$ (참)
$\therefore$ ㄱ, ㄴ, ㄷ
사고 흐름
① 속도 그래프의 기울기가 가속도
② 그래프가 $t$축을 뚫는 점에서 방향이 바뀐다
③ 보기마다 구간을 확인한다
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유형 6 시각에 대한 변화율빈출

문제 · 기본
한 변의 길이가 $3$ cm인 정사각형의 각 변의 길이가 매초 $2$ cm씩 늘어날 때, $4$초 후의 넓이의 변화율을 구하시오.
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$t$초 후 한 변 $l=3+2t$, 넓이 $S=(3+2t)^2$
$\dfrac{dS}{dt}=2(3+2t)\times2=4(3+2t)$
$t=4$: $4\times11$
$=$ $44$ cm²/s
사고 흐름
① 길이를 $t$의 식으로 쓴다
② 넓이를 $t$의 함수로 쓰고 $t$로 미분한다
③ 주어진 시각을 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
반지름의 길이가 $2$ cm인 구의 반지름이 매초 $1$ cm씩 늘어날 때, 반지름의 길이가 $5$ cm가 되는 순간의 부피의 변화율을 구하시오.
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$t$초 후 $r=2+t$, $V=\frac43\pi(2+t)^3$
$\dfrac{dV}{dt}=4\pi(2+t)^2$
$r=5$일 때 $t=3$: $4\pi\times25$
$=$ $100\pi$ cm³/s
사고 흐름
① 반지름을 $t$의 식으로 쓴다
② 부피를 $t$로 미분한다
③ 반지름 조건을 시각으로 바꿔 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T