공통수학2 · 유리함수와 무리함수

06 무리함수의 활용

개념

직선과의 위치 시작점을 지날 때, 접할 때가 경계

역함수 양변을 제곱해 $x$에 대해 풀고, 정의역은 원래 치역

역함수와의 교점 증가함수이면 $f(x)=x$의 근

넓이 평행이동·대칭으로 옮겨 다각형으로

자주 나오는 유형

유형 1무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계
유형 2무리함수의 역함수
유형 3무리함수와 역함수의 그래프의 교점
유형 4무리함수의 합성함수와 역함수
유형 5유리함수와 무리함수의 그래프
유형 6무리함수의 활용
유형 7무리함수의 그래프에서 삼각형의 넓이
유형 8무리함수의 그래프와 도형의 넓이

유형 1 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계빈출

문제 · 기본

함수 $y=\sqrt{x-1}$의 그래프와 직선 $y=x+k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

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직선이 시작점 $(1, 0)$을 지날 때 $k=-1$

접할 때: $(x+k)^2=x-1$의 판별식 $-4k-3=0$, $k=-\dfrac{3}{4}$

두 경계 사이에서 두 점

$\therefore$ $-1\le k<-\dfrac{3}{4}$

$x$

$y$

$O$

$1$

사고 흐름

① 곡선의 시작점과 직선의 기울기를 그린다

② 시작점을 지날 때와 접할 때가 경계

③ 경계에 등호가 들어가는지 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $y=\sqrt{2|x|}$의 그래프와 직선 $y=x+k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

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$x<0$: $\sqrt{-2x}=x+k$는 $k>0$일 때 한 점

$x\ge 0$: 원점을 지날 때 $k=0$, 접할 때 $(x+k)^2=2x$의 판별식 $4-8k=0$, $k=\dfrac{1}{2}$

$0\le k<\dfrac{1}{2}$이면 $x\ge 0$에서 두 점

$\therefore$ $0<k<\dfrac{1}{2}$

$x$

$y$

$O$

사고 흐름

① $|x|$는 $y$축 대칭으로 그래프를 그린다

② $x<0$, $x\ge 0$에서 교점 수를 따로 센다

③ 두 범위를 함께 만족하는 $k$를 고른다

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유형 2 무리함수의 역함수

문제 · 기본

함수 $f(x)=\sqrt{x-1}+2$의 역함수 $f^{-1}(x)$를 구하고, $f^{-1}(5)$의 값을 구하시오.

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$y-2=\sqrt{x-1}$, $y\ge 2$에서 양변을 제곱

$x=(y-2)^2+1$ → $f^{-1}(x)=(x-2)^2+1$ ($x\ge 2$)

$\therefore$ $f^{-1}(5)=$ $10$

사고 흐름

① 근호만 남기고 양변을 제곱한다

② $x$와 $y$를 바꾼다

③ 역함수의 정의역은 원래 함수의 치역

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

집합 $X=\{x\mid x\le a\}$에서 집합 $Y=\{y\mid y\ge 2a\}$로의 함수 $y=\sqrt{6-2x}$가 역함수를 갖도록 하는 실수 $a$의 값을 구하시오.

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$y=\sqrt{6-2x}$는 감소 → 치역 $\{y\mid y\ge\sqrt{6-2a}\}$

치역 $=$ 공역: $\sqrt{6-2a}=2a$ ($2a\ge 0$)

$2a^2+a-3=0$, $(2a+3)(a-1)=0$

$\therefore$ $a=1$

사고 흐름

① 역함수가 있으려면 일대일대응

② 감소함수면 정의역의 끝이 치역의 최솟값

③ 근호 $\ge 0$이라 음수 근은 버린다

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유형 3 무리함수와 역함수의 그래프의 교점

문제 · 기본

함수 $f(x)=\sqrt{x-2}+2$의 그래프와 그 역함수의 그래프의 두 교점 사이의 거리를 구하시오.

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증가함수 → $f(x)=x$의 근

$\sqrt{x-2}=x-2$에서 $x-2=0$ 또는 $1$

교점 $(2, 2)$, $(3, 3)$

$\therefore$ $\sqrt{2}$

사고 흐름

① 증가함수인지 확인한다

② $f(x)=x$를 풀어 교점을 구한다

③ 두 점은 모두 직선 $y=x$ 위

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문제 · 심화

함수 $f(x)=a\sqrt{x-1}+1$ ($a>0$)의 그래프와 그 역함수의 그래프의 두 교점 사이의 거리가 $4\sqrt{2}$일 때, $a$의 값을 구하시오.

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$a>0$이면 증가 → 교점은 직선 $y=x$ 위

$a\sqrt{x-1}=x-1$에서 $x-1=0$ 또는 $\sqrt{x-1}=a$

교점 $(1, 1)$, $(a^2+1, a^2+1)$, 거리 $\sqrt{2}a^2=4\sqrt{2}$

$\therefore$ $a=2$

사고 흐름

① 교점을 $y=x$ 위의 근 문제로 바꾼다

② $\sqrt{x-1}$을 한 덩어리로 놓고 푼다

③ $y=x$ 위 두 점의 거리 $=\sqrt{2}\times$($x$좌표의 차)

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유형 4 무리함수의 합성함수와 역함수

문제 · 기본

두 함수 $f(x)=\sqrt{x+3}$, $g(x)=x^2+1$에 대하여 $(f\circ g)(\sqrt{5})+(g\circ f)(6)$의 값을 구하시오.

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$(f\circ g)(\sqrt{5})=f(6)=\sqrt{9}=3$

$(g\circ f)(6)=g(3)=10$

$\therefore$ $13$

사고 흐름

① 안쪽 함숫값부터 계산한다

② 근호 안이 완전제곱수가 되는지 본다

③ 순서를 바꾸면 값이 다르다

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문제 · 심화

두 함수 $f(x)=\sqrt{x+4}$, $g(x)=2x+1$에 대하여 $(g^{-1}\circ f)^{-1}(1)$의 값을 구하시오.

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$(g^{-1}\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g$

$g(1)=3$

$f^{-1}(3)=k$: $\sqrt{k+4}=3$, $k=5$

$\therefore$ $5$

사고 흐름

① $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$로 순서를 바꾼다

② $(g^{-1})^{-1}=g$로 정리한다

③ 역함숫값은 $f(k)=$ (값)으로 푼다

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유형 5 유리함수와 무리함수의 그래프

문제 · 기본

유리함수 $y=\dfrac{ax+b}{x+c}$의 그래프의 점근선이 $x=-1$, $y=2$이고 점 $(0, 1)$을 지날 때, $y=\sqrt{ax+b}+c$의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하시오.

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점근선 $x=-1$, $y=2$ → $c=1$, $a=2$

$(0, 1)$: $\dfrac{b}{1}=1$, $b=1$

$y=\sqrt{2x+1}+1$: 시작점 $\left(-\dfrac{1}{2}, 1\right)$, 오른쪽 위로

$\therefore$ 제1, 2사분면

사고 흐름

① 유리함수의 점근선에서 계수를 읽는다

② 같은 계수로 무리함수를 완성한다

③ 시작점과 방향으로 사분면을 정한다

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문제 · 심화

유리함수 $y=\dfrac{ax+b}{x+c}$의 그래프가 그림과 같을 때, $y=\sqrt{ax+b}+c$의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하시오. (단, 점선은 점근선)

$x$

$y$

$O$

$2$

$1$

$-1$

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점근선에서 $c=-2$, $a=-1$, $(0, 1)$에서 $b=-2$

$y=\sqrt{-x-2}-2$: 시작점 $(-2, -2)$, 왼쪽 위로

$\therefore$ 제2, 3사분면

사고 흐름

① 그래프에서 점근선과 지나는 점을 읽는다

② $a$의 부호로 무리함수의 방향이 정해진다

③ 시작점이 제3사분면이면 위로 올라가며 확인

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유형 6 무리함수의 활용

문제 · 기본

점 A$(a, 0)$ ($a>0$)을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 두 곡선 $y=2\sqrt{x}$, $y=\sqrt{x}$와 만나는 점을 각각 B, C라 하자. $\overline{BC}=3$일 때, $a$의 값을 구하시오.

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$B(a, 2\sqrt{a})$, $C(a, \sqrt{a})$

$\overline{BC}=2\sqrt{a}-\sqrt{a}=\sqrt{a}$

$\sqrt{a}=3$

$\therefore$ $a=9$

사고 흐름

① 같은 $x$좌표의 두 점을 문자로 나타낸다

② 선분의 길이를 $y$좌표의 차로 쓴다

③ 근호 덩어리로 방정식을 푼다

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문제 · 심화

점 A$(a, 0)$ ($a>0$)을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=2\sqrt{x}$와 만나는 점을 B라 하자. 선분 AB를 한 변으로 하는 정사각형 ABCD의 꼭짓점 C가 곡선 $y=\sqrt{3x}$ 위에 있을 때, $a$의 값을 구하시오. (단, C, D는 $x$좌표가 $a$보다 크다.)

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$B(a, 2\sqrt{a})$ → 한 변의 길이 $2\sqrt{a}$

$C(a+2\sqrt{a}, 2\sqrt{a})$가 $y=\sqrt{3x}$ 위

$4a=3(a+2\sqrt{a})$에서 $a=6\sqrt{a}$, $\sqrt{a}=6$

$\therefore$ $a=36$

사고 흐름

① 정사각형의 한 변을 문자로 나타낸다

② 나머지 꼭짓점의 좌표를 쓴다

③ 곡선 위의 점이라는 조건을 대입한다

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유형 7 무리함수의 그래프에서 삼각형의 넓이

문제 · 기본

직선 $x=5$가 곡선 $y=\sqrt{x+4}$와 만나는 점을 A, $x$축과 만나는 점을 B라 할 때, 삼각형 AOB의 넓이를 구하시오. (단, O는 원점)

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$A(5, \sqrt{5+4})=(5, 3)$, $B(5, 0)$

밑변 $\overline{OB}=5$, 높이 $3$

$\therefore$ $\dfrac{1}{2}\times 5\times 3=$ $\dfrac{15}{2}$

사고 흐름

① 꼭짓점의 좌표를 곡선의 식으로 구한다

② 축에 놓인 변을 밑변으로 잡는다

③ 높이는 $y$좌표

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문제 · 심화

곡선 $y=\sqrt{4-x}$가 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 점 P가 제1사분면에서 이 곡선 위를 움직일 때, 삼각형 ABP의 넓이의 최댓값을 구하시오.

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$A(4, 0)$, $B(0, 2)$, $\overline{AB}=2\sqrt{5}$

AB와 평행한 직선이 접하는 점에서 최대

$\sqrt{4-x}=-\dfrac{1}{2}x+k$의 판별식 $5-2k=0$ → $P(3, 1)$

넓이 $\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{5}\times\dfrac{1}{\sqrt{5}}=$ $1$

$x$

$y$

$O$

$B$

$P$

$A$

사고 흐름

① 밑변 AB를 고정하고 높이를 최대로

② 높이가 최대인 점은 AB와 평행한 접선의 접점

③ 점과 직선 사이의 거리로 높이를 구한다

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유형 8 무리함수의 그래프와 도형의 넓이

문제 · 기본

두 곡선 $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt{x-4}$와 직선 $y=2$, $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

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$y=\sqrt{x-4}$는 $y=\sqrt{x}$를 $x$축 방향으로 $4$만큼 평행이동

같은 높이에서 두 곡선 사이의 가로 길이는 항상 $4$

넓이는 가로 $4$, 세로 $2$인 직사각형과 같다

$\therefore$ $8$

$x$

$y$

$O$

$4$

$8$

$2$

사고 흐름

① 두 곡선이 평행이동 관계인지 본다

② 가로로 자른 길이가 일정한지 확인한다

③ 직사각형으로 바꿔 넓이를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

곡선 $y=\sqrt{x}$와 $x$축, 직선 $x=9$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 곡선 $y=\sqrt{x}$와 $y$축, 직선 $y=3$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 하자. $A=18$일 때, $B$의 값을 구하시오.

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두 부분을 합치면 가로 $9$, 세로 $3$인 직사각형

$A+B=9\times 3=27$

$\therefore$ $B=27-18=$ $9$

$x$

$y$

$O$

$9$

$3$

사고 흐름

① 곡선이 직사각형을 두 부분으로 나누는지 본다

② 두 넓이의 합을 직사각형으로 구한다

③ 주어진 넓이를 빼서 나머지를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T