공통수학2 · 명제
07 절대부등식
개념
절대부등식 문자에 어떤 실수를 넣어도 항상 성립하는 부등식
차 비교 $A-B\ge 0$이면 $A\ge B$
제곱 비교 $A\ge 0$, $B\ge 0$일 때 $A^2\ge B^2$이면 $A\ge B$
등호 $\ge$를 증명하면 등호가 성립하는 조건도 쓴다
자주 나오는 유형
유형 1 실수의 성질을 이용한 절대부등식의 증명
문제 · 기본
다음은 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a^2+ab+b^2\ge 0$임을 증명한 것이다. (가), (나)에 알맞은 것을 구하시오.
$a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+$(가)$\ge 0$
등호는 $a+\dfrac{b}{2}=0$, $b=0$, 즉 (나)일 때 성립
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완전제곱식의 합으로 바꾼다
$\left(a+\frac{b}{2}\right)^2=a^2+ab+\frac{b^2}{4}$이므로 남는 것은 $\frac{3}{4}b^2$
두 제곱이 모두 $0$이면 $b=0$, $a=0$
$\therefore$ (가) $\frac{3}{4}b^2$, (나) $a=b=0$
사고 흐름
① 좌변 − 우변을 만든다
② 완전제곱식의 합으로 바꾼다
③ 각 제곱이 $0$일 때가 등호 조건
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 실수 $x$, $y$에 대하여 부등식 $2x^2+y^2+1\ge 2xy+2x$가 성립함을 보이고, 등호가 성립할 때 $x+y$의 값을 구하시오.
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(좌변)$-$(우변)$=2x^2+y^2+1-2xy-2x$
$=(x-y)^2+(x-1)^2\ge 0$
등호는 $x-y=0$, $x-1=0$일 때 성립
$x=y=1$ $\therefore$ $x+y=2$
사고 흐름
① 좌변 − 우변으로 한쪽에 모은다
② $2x^2$을 나눠 완전제곱식 두 개로 만든다
③ 두 제곱이 동시에 $0$인 점을 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 절댓값 기호를 포함한 절대부등식
문제 · 기본
다음은 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $|a|+|b|\ge |a-b|$임을 증명한 것이다. (가), (나)에 알맞은 것을 구하시오.
$(|a|+|b|)^2-|a-b|^2=2($(가)$)\ge 0$
$|a|+|b|\ge 0$, $|a-b|\ge 0$이므로 $|a|+|b|\ge |a-b|$
등호는 (나)일 때 성립
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양변이 $0$ 이상이므로 제곱의 차를 비교
$a^2+2|ab|+b^2-(a^2-2ab+b^2)=2(|ab|+ab)$
$|ab|\ge -ab$이므로 $\ge 0$, 등호는 $|ab|=-ab$
$\therefore$ (가) $|ab|+ab$, (나) $ab\le 0$
사고 흐름
① 양변이 $0$ 이상인지 확인한다
② 제곱의 차를 계산한다
③ $|ab|\ge ab$, $|ab|\ge -ab$로 부호를 정한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 실수 $a$, $b$에 대하여 보기에서 항상 성립하는 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $|a+b|\ge |a|-|b|$
ㄴ. $|a+b|\ge |a-b|$
ㄷ. $\sqrt{a^2+b^2}\le |a|+|b|$
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ㄱ. $|a|-|b|<0$이면 당연히 성립, $\ge 0$이면
$|a+b|^2-(|a|-|b|)^2=2(ab+|ab|)\ge 0$ → 참
ㄴ. [반례] $a=1$, $b=-1$이면 $0\ge 2$ → 거짓
ㄷ. $(|a|+|b|)^2-(a^2+b^2)=2|ab|\ge 0$ → 참
$\therefore$ ㄱ, ㄷ
사고 흐름
① 음수가 될 수 있는 쪽은 경우를 나눈다
② $0$ 이상이면 제곱의 차로 비교한다
③ 거짓 같으면 부호가 다른 반례를 넣는다
DOYEONMATH · 김도연T