공통수학2 · 명제

01 명제와 조건

개념

명제 참, 거짓을 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식

조건 문자의 값에 따라 참, 거짓이 정해지는 문장이나 식

진리집합 전체집합에서 조건을 참이 되게 하는 원소의 집합

부정 '또는' ↔ '그리고', $\sim p$의 진리집합은 $P^C$

자주 나오는 유형

유형 1명제와 조건 구별
유형 2명제와 조건의 부정
유형 3진리집합

유형 1 명제와 조건 구별빈출

문제 · 기본

다음 보기에서 명제인 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $2+3>6$

ㄴ. $x+1=4$

ㄷ. $12$의 양의 약수는 $6$개이다.

ㄹ. 수학은 재미있는 과목이다.

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ㄱ. $2+3=5$이므로 거짓인 명제

ㄴ. $x$의 값에 따라 참, 거짓이 달라지므로 조건

ㄷ. $1, 2, 3, 4, 6, 12$의 $6$개이므로 참인 명제

ㄹ. '재미있다'는 기준이 모호하므로 명제가 아니다.

$\therefore$ ㄱ, ㄷ

사고 흐름

① 문자가 있으면 값이 정해졌는지 본다

② 기준이 모호한 말이 있는지 본다

③ 참·거짓이 정해지면 거짓이어도 명제

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

다음 보기에서 명제의 개수를 $a$, 참인 명제의 개수를 $b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하시오.

ㄱ. $2(x+1)=2x+3$

ㄴ. $x^2-4=0$

ㄷ. $\sqrt{16}$은 무리수이다.

ㄹ. $x=1$이면 $x^2=1$이다.

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ㄱ. 정리하면 $2=3$, 항상 거짓 → 거짓인 명제

ㄴ. $x$의 값에 따라 달라짐 → 조건

ㄷ. $\sqrt{16}=4$는 유리수 → 거짓인 명제

ㄹ. $1^2=1$ → 참인 명제 $\therefore$ $a+b=3+1=4$

사고 흐름

① 문자가 있어도 항상 참·항상 거짓인지 본다

② 값이 정해진 '~이면' 문장은 대입해 판정한다

③ 명제의 개수와 참인 명제의 개수를 따로 센다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 명제와 조건의 부정

문제 · 기본

두 조건 $p: -1\le x<4$, $q: x>2$에 대하여 조건 '$\sim p$ 또는 $q$'의 부정을 구하시오.

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'$\sim p$ 또는 $q$'의 부정은 '$p$ 그리고 $\sim q$'

$p: -1\le x<4$, $\sim q: x\le 2$

두 범위의 공통부분을 구한다.

$\therefore$ $-1\le x\le 2$

$p$

$\sim q$

$-1$

$2$

$4$

$x$

사고 흐름

① '또는'의 부정은 '그리고'로 바꾼다

② 부등호를 바꿀 때 등호 포함도 바꾼다

③ 수직선에서 공통 범위를 읽는다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

세 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 조건 '$|a-b|+|b-c|=0$'의 부정과 같은 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $a\neq b$ 또는 $b\neq c$

ㄴ. $(a-b)(b-c)\neq 0$

ㄷ. $a$, $b$, $c$가 모두 같은 것은 아니다.

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주어진 조건은 '$a=b$ 그리고 $b=c$'

부정은 '$a\neq b$ 또는 $b\neq c$' → ㄱ, ㄷ

ㄴ은 '그리고'라서 다르다 (반례 $a=b=1$, $c=2$)

$\therefore$ ㄱ, ㄷ

사고 흐름

① 절댓값의 합이 0이면 각각 0이다

② '그리고'의 부정은 '또는'으로 바꾼다

③ 보기를 같은 꼴로 바꾸고 반례로 지운다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 진리집합빈출

문제 · 기본

전체집합 $U=\{x\mid x$는 $10$ 이하의 자연수$\}$에 대하여 두 조건 $p: x$는 $3$의 배수, $q: x^2-7x+10\le 0$일 때, 조건 '$\sim p$ 그리고 $q$'의 진리집합을 구하시오.

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$P=\{3, 6, 9\}$

$(x-2)(x-5)\le0$에서 $2\le x\le5$이므로 $Q=\{2, 3, 4, 5\}$

'$\sim p$ 그리고 $q$'의 진리집합은 $P^C\cap Q$

$\therefore$ $\{2, 4, 5\}$

$U$

$P$

$Q$

$6$

$9$

$3$

$2$

$4$

$5$

$1$

$10$

$7$

$8$

사고 흐름

① 전체집합 $U$의 원소부터 확인한다

② 각 조건을 풀어 $P$, $Q$를 구한다

③ $\sim p$는 $P^C$, '그리고'는 $\cap$으로 바꾼다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

실수 전체의 집합에서 두 조건 $p: |x-a|\le 2$, $q: x^2-2x-15<0$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. 조건 '$p$ 또는 $q$'의 진리집합이 $Q$가 되도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.

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$(x+3)(x-5)<0$에서 $Q=\{x\mid -3<x<5\}$

$P\cup Q=Q$이려면 $P\subset Q$

$-3<a-2$, $a+2<5$에서 $-1<a<3$

$\therefore$ 정수 $a$는 $0, 1, 2$의 $3$개

$Q$

$P$

$-3$

$a-2$

$a+2$

$5$

$x$

사고 흐름

① 두 조건을 풀어 구간으로 나타낸다

② $P\cup Q=Q$이면 $P\subset Q$로 바꾼다

③ 끝점이 포함되는지 확인하고 비교한다

DOYEONMATH · 김도연T