공통수학2 · 함수
04 역함수
개념
역함수 $f$가 일대일대응일 때 $f^{-1}(b)=a \Leftrightarrow f(a)=b$
구하기 $y=f(x)$를 $x$에 대해 풀고 $x$, $y$를 바꾼다
성질 $(f^{-1})^{-1}=f$, $f^{-1}\circ f=I$
합성 $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
자주 나오는 유형
유형 1 역함수의 함숫값빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)=ax+b$에 대하여 $f(2)=3$, $f^{-1}(7)=4$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)
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$f^{-1}(7)=4 \Leftrightarrow f(4)=7$
$2a+b=3$, $4a+b=7$
$a=2$, $b=-1$이므로 $f(x)=2x-1$
$\therefore$ $f(1)=$ $1$
사고 흐름
① 역함수의 값은 원래 함수의 값으로 바꾼다
② $f^{-1}(b)=a$ 이면 $f(a)=b$
③ 식 두 개를 연립한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=\begin{cases} 2x-1 & (x<2) \\ x^2-1 & (x\ge 2) \end{cases}$에 대하여 $f^{-1}(8)+f^{-1}(-3)$의 값을 구하시오.
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$x<2$이면 $f(x)<3$, $x\ge 2$이면 $f(x)\ge 3$
$8\ge 3$이므로 $x\ge 2$의 식: $a^2-1=8$, $a=3$
$-3<3$이므로 $2b-1=-3$, $b=-1$
$\therefore$ $3+(-1)=$ $2$
사고 흐름
① 구간마다 함숫값의 범위를 먼저 구한다
② 주어진 값이 어느 범위인지로 식을 고른다
③ 구한 $x$가 그 구간에 맞는지 확인한다
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유형 2 역함수가 존재하기 위한 조건빈출
문제 · 기본
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=a|x|+2x-1$의 역함수가 존재하도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.
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$x\ge 0$: $f(x)=(a+2)x-1$
$x<0$: $f(x)=(2-a)x-1$
두 기울기의 부호가 같아야: $(a+2)(2-a)>0$
$-2<a<2$ $\therefore$ $3$개
사고 흐름
① 역함수 존재 ⇔ 일대일대응
② 절댓값은 구간을 나눠 직선 두 개로 본다
③ 두 직선의 기울기 부호가 같아야 한다
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문제 · 심화
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\begin{cases} ax+3 & (x<0) \\ x^2+2x+b & (x\ge 0) \end{cases}$의 역함수가 존재하고 $f^{-1}(-1)=-2$일 때, $a+b$의 값을 구하시오.
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$x\ge 0$: $f(x)=(x+1)^2+b-1$은 증가, 치역 $\{y\mid y\ge b\}$
$x<0$에서도 증가하고 $x=0$에서 이어져야: $a>0$, $b=3$
$f^{-1}(-1)=-2 \Leftrightarrow f(-2)=-2a+3=-1$
$a=2$ $\therefore$ $a+b=$ $5$
사고 흐름
① 이차함수 구간의 증감을 꼭짓점으로 정한다
② 다른 구간도 같은 방향, 경계에서 이어지게
③ 역함수 값은 $f$의 값으로 바꿔 대입한다
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유형 3 역함수 구하기빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)=3x+a$의 역함수가 $f^{-1}(x)=bx-2$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.
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$y=3x+a$를 $x$에 대해 풀면 $x=\dfrac{y-a}{3}$
$x$와 $y$를 바꾸면 $y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{a}{3}$
$b=\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{a}{3}=2$에서 $a=6$
$\therefore$ $ab=$ $2$
사고 흐름
① $y=f(x)$를 $x$에 대해 푼다
② $x$와 $y$를 서로 바꾼다
③ 주어진 식과 계수를 비교한다
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문제 · 심화
$x\le 0$에서 정의된 함수 $f(x)=-(x-1)^2+5$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g(-4)$의 값과 $g$의 정의역에 속하는 자연수의 개수의 합을 구하시오.
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$x\le 0$에서 $f(x)$는 증가, $f(0)=4$ → 치역 $\{y\mid y\le 4\}$
$g$의 정의역 $=$ $f$의 치역 → 자연수 $1$, $2$, $3$, $4$: $4$개
$g(-4)=k \Leftrightarrow f(k)=-4$: $(k-1)^2=9$, $k=-2$ ($k\le 0$)
$\therefore$ $-2+4=$ $2$
사고 흐름
① 역함수의 정의역은 원래 함수의 치역
② 역함수 값은 $f(k)=$ (값)으로 바꿔 푼다
③ 원래 정의역에 맞는 근만 고른다
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유형 4 합성함수와 역함수빈출
문제 · 기본
역함수가 존재하는 함수 $f$에 대하여 $f(2x+1)=4x-3$일 때, $f^{-1}(9)$의 값을 구하시오.
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$f^{-1}(9)=k \Leftrightarrow f(k)=9$
$4x-3=9$인 $x=3$을 대입
$f(2\times 3+1)=f(7)=9$
$\therefore$ $f^{-1}(9)=$ $7$
사고 흐름
① 구하는 역함숫값을 $f(k)=9$로 바꾼다
② 우변이 $9$가 되는 $x$를 찾는다
③ 그때 괄호 안의 값이 $k$
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문제 · 심화
역함수가 존재하는 함수 $f$에 대하여 $f(3x-1)=2x+a$이고 $f^{-1}(3)=-4$일 때, $f(5)+f^{-1}(5)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)
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$f(-4)=3$: $3x-1=-4$인 $x=-1$ → $-2+a=3$, $a=5$
$f(5)$: $3x-1=5$인 $x=2$ → $f(5)=9$
$f^{-1}(5)=k \Leftrightarrow f(k)=5$: $2x+5=5$인 $x=0$ → $k=-1$
$\therefore$ $9+(-1)=$ $8$
사고 흐름
① 역함숫값 조건을 $f$의 값으로 바꿔 $a$를 구한다
② 괄호 안이 원하는 값이 되는 $x$를 넣는다
③ 역함숫값은 우변이 그 값이 되는 $x$로 찾는다
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유형 5 역함수의 성질빈출
문제 · 기본
두 함수 $f(x)=2x-1$, $g(x)=x+3$에 대하여 $(f\circ g^{-1})^{-1}(5)$의 값을 구하시오.
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$(f\circ g^{-1})^{-1}=g\circ f^{-1}$
$f^{-1}(5)=k \Leftrightarrow 2k-1=5$, $k=3$
$g(f^{-1}(5))=g(3)=6$
$\therefore$ $6$
사고 흐름
① $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$로 순서를 바꾼다
② $(g^{-1})^{-1}=g$로 정리한다
③ 안쪽부터 계산한다
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문제 · 심화
두 함수 $f$, $g$가 일대일대응이고 $(g^{-1}\circ f)(2x+1)=3x-2$, $g(7)=6$일 때, $f^{-1}(6)$의 값을 구하시오.
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$g^{-1}(f(2x+1))=3x-2$의 양변에 $g$를 합성하면
$f(2x+1)=g(3x-2)$
$3x-2=7$인 $x=3$ 대입: $f(7)=g(7)=6$
$\therefore$ $f^{-1}(6)=$ $7$
사고 흐름
① $g\circ g^{-1}=I$로 역함수를 지운다
② 주어진 값 $g(7)$이 나오게 $x$를 고른다
③ $f(a)=b$에서 $f^{-1}(b)=a$를 읽는다
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