공통수학2 · 함수

02 여러 가지 함수

개념

일대일함수 $x_1\neq x_2$이면 $f(x_1)\neq f(x_2)$

일대일대응 일대일함수이고 (치역) $=$ (공역)

항등·상수함수 $f(x)=x$ / $f(x)=c$

함수의 개수 $n(X)=m$, $n(Y)=n$이면 $n^m$개

자주 나오는 유형

유형 1일대일함수와 일대일대응
유형 2일대일대응 조건 — 구간별 함수
유형 3일대일대응 조건 — 정의역·공역의 끝값
유형 4항등함수와 상수함수
유형 5함수의 개수
유형 6조건이 있는 함수의 개수

유형 1 일대일함수와 일대일대응

문제 · 기본

실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 함수 중 보기에서 일대일대응인 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $f(x)=3x-1$

ㄴ. $f(x)=x^2$

ㄷ. $f(x)=|x|+x$

ㄹ. $f(x)=x^3$

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ㄱ. 기울기가 $0$이 아닌 직선 → 일대일대응

ㄴ. $f(-1)=f(1)=1$ → 일대일함수가 아니다

ㄷ. $x\le 0$이면 $f(x)=0$ → 일대일함수가 아니다

ㄹ. $x$가 커지면 $f(x)$도 커지고 치역이 실수 전체 → 일대일대응

$\therefore$ ㄱ, ㄹ

사고 흐름

① 직선 $y=k$와 두 점 이상에서 만나면 일대일이 아니다

② 같은 함숫값을 갖는 두 $x$를 찾아본다

③ 일대일함수이면 치역 $=$ 공역인지 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

두 유한집합 $X$, $Y$에 대하여 함수 $f: X\rightarrow Y$일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $f$가 일대일대응이면 $f$는 일대일함수이다.

ㄴ. $n(X)=n(Y)$이고 $f$가 일대일함수이면 $f$는 일대일대응이다.

ㄷ. $f$의 치역과 공역이 같으면 $f$는 일대일함수이다.

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ㄱ. 일대일대응 $=$ 일대일함수 $+$ (치역 $=$ 공역) → 참

ㄴ. 함숫값이 모두 달라 치역의 원소 수 $=n(X)=n(Y)$ → 참

ㄷ. [반례] $X=\{1, 2\}$, $Y=\{1\}$, $f(x)=1$ → 거짓

$\therefore$ ㄱ, ㄴ

사고 흐름

① 일대일함수는 일대일대응이기 위한 필요조건

② 유한집합이면 원소의 개수로 치역을 따진다

③ 거짓은 원소가 적은 반례로 보인다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 일대일대응 조건 — 구간별 함수빈출

문제 · 기본

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\begin{cases} (a-2)x+1 & (x<0) \\ 3x+1 & (x\ge 0) \end{cases}$가 일대일대응이 되도록 하는 정수 $a$의 최솟값을 구하시오.

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$x\ge 0$에서 기울기 $3>0$ → 증가

$x<0$에서도 기울기가 양수: $a-2>0$

$x=0$에서 두 식의 값이 $1$로 같아 치역이 실수 전체

$a>2$ $\therefore$ $3$

사고 흐름

① 구간마다 증가인지 감소인지 본다

② 모든 구간의 기울기 부호가 같아야 한다

③ 경계에서 그래프가 이어지는지 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\begin{cases} 2x+1 & (x<1) \\ x^2-2ax+b & (x\ge 1) \end{cases}$가 일대일대응일 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 최댓값을 구하시오.

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$x<1$: 증가, 치역 $\{y\mid y<3\}$

$x\ge 1$에서도 증가: 꼭짓점 $x=a\le 1$

치역이 실수 전체이려면 $1-2a+b=3$

$b=2a+2$, $a+b=3a+2\le 5$

$\therefore$ $5$

$x$

$y$

$O$

$1$

$3$

사고 흐름

① 직선 구간의 증감으로 전체 방향을 정한다

② 이차함수 구간은 꼭짓점이 경계 밖

③ 경계에서 두 식의 값이 같아야 한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 일대일대응 조건 — 정의역·공역의 끝값빈출

문제 · 기본

집합 $X=\{x\mid 0\le x\le 2\}$에서 집합 $Y=\{y\mid 1\le y\le 5\}$로의 함수 $f(x)=ax+b$가 일대일대응일 때, 가능한 $ab$의 값의 합을 구하시오.

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$a=0$이면 상수함수 → 일대일대응이 아니다

$a>0$: $f(0)=1$, $f(2)=5$ → $a=2$, $b=1$

$a<0$: $f(0)=5$, $f(2)=1$ → $a=-2$, $b=5$

$2+(-10)=$ $-8$

사고 흐름

① 기울기의 부호로 경우를 나눈다

② 증가면 끝값끼리 그대로, 감소면 거꾸로

③ 두 경우를 모두 답에 반영한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

집합 $X=\{x\mid x\ge k\}$에 대하여 $X$에서 $X$로의 함수 $f(x)=x^2-4x+4$가 일대일대응이 되도록 하는 실수 $k$의 값을 구하시오.

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$f(x)=(x-2)^2$, 일대일함수이려면 $k\ge 2$

$x\ge k$에서 증가 → 치역 $\{y\mid y\ge f(k)\}$

치역 $=$ 공역: $f(k)=k$

$k^2-5k+4=0$, $k=1$ 또는 $k=4$

$k\ge 2$이므로 $k=$ $4$

$x$

$y$

$O$

$y=x$

$(4, 4)$

$2$

$4$

사고 흐름

① 꼭짓점 오른쪽만 정의역이어야 일대일

② 정의역의 최솟값이 치역의 최솟값: $f(k)=k$

③ 꼭짓점 조건에 맞지 않는 근은 버린다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 항등함수와 상수함수

문제 · 기본

공집합이 아닌 집합 $X$에서 $X$로의 함수 $f(x)=x^3-3x^2+3x$가 항등함수가 되도록 하는 집합 $X$의 개수를 구하시오.

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항등함수이려면 $X$의 모든 원소에서 $f(x)=x$

$x^3-3x^2+2x=0$, $x(x-1)(x-2)=0$

$X$는 $\{0, 1, 2\}$의 공집합이 아닌 부분집합

$\therefore$ $2^3-1=$ $7$

사고 흐름

① 항등함수는 모든 원소가 자기 자신에 대응

② $f(x)=x$를 풀어 원소 후보를 구한다

③ 후보로 만들 수 있는 집합을 센다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

집합 $X=\{0, 1, 2\}$에서 $X$로의 함수 $f(x)=\begin{cases} 2x+1 & (x<1) \\ x^2+ax+b & (x\ge 1) \end{cases}$가 상수함수일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

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$f(0)=1$이므로 모든 함숫값이 $1$

$f(1)=1+a+b=1$ → $a+b=0$

$f(2)=4+2a+b=1$ → $2a+b=-3$

$a=-3$, $b=3$ $\therefore$ $ab=$ $-9$

사고 흐름

① 식이 하나뿐인 원소로 상수값을 먼저 구한다

② 나머지 원소의 함숫값도 그 값과 같게 놓는다

③ 세운 식을 연립한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 5 함수의 개수

문제 · 기본

두 집합 $X=\{1, 2, 3\}$, $Y=\{1, 2, 3, 4\}$에 대하여 $X$에서 $Y$로의 함수, 일대일함수, 상수함수의 개수를 각각 $a$, $b$, $c$라 할 때, $a+b+c$의 값을 구하시오.

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함수: 원소마다 $4$가지 → $a=4^3=64$

일대일함수: $4\times 3\times 2=24$

상수함수: $c=4$

$\therefore$ $64+24+4=$ $92$

사고 흐름

① 정의역의 원소마다 고를 수 있는 값을 센다

② 일대일함수는 앞에서 쓴 값을 뺀다

③ 곱의 법칙으로 곱한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

두 집합 $X=\{1, 2, 3\}$, $Y=\{1, 2, 3, 4\}$에 대하여 $\{f(1)-1\}\{f(2)-1\}\{f(3)-1\}=0$을 만족시키는 함수 $f: X\rightarrow Y$의 개수를 구하시오.

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곱이 $0$ ⇔ 함숫값 중 적어도 하나가 $1$

전체 함수: $4^3=64$

$f(1)$, $f(2)$, $f(3)$이 모두 $1$이 아닌 함수: $3^3=27$

$\therefore$ $64-27=$ $37$

사고 흐름

① 곱이 $0$이면 '적어도 하나'로 바꾼다

② '적어도'는 전체에서 반대 경우를 뺀다

③ 반대 경우는 원소마다 남은 값으로 센다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 조건이 있는 함수의 개수

문제 · 기본

두 집합 $X=\{1, 2, 3\}$, $Y=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$에 대하여 $x_1<x_2$이면 $f(x_1)<f(x_2)$를 만족시키는 함수 $f: X\rightarrow Y$의 개수를 구하시오.

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$Y$에서 서로 다른 값 $3$개를 고르면

작은 값부터 $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$에 차례로 대응

고르는 방법 하나에 함수가 하나씩 정해진다

$\therefore$ ${}_6\mathrm{C}_3=$ $20$

사고 흐름

① 증가 조건이면 대응 순서가 정해져 있다

② 값을 고르기만 하면 되므로 조합

③ ${}_n\mathrm{C}_m$으로 센다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

두 집합 $X=\{1, 2, 3, 4\}$, $Y=\{1, 2, 3\}$에 대하여 치역과 공역이 같은 함수 $f: X\rightarrow Y$의 개수를 구하시오.

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치역 $=Y$이면 $1$, $2$, $3$이 모두 함숫값

$X$의 원소를 $2$개, $1$개, $1$개로 나눈다: ${}_4\mathrm{C}_2=6$

세 묶음을 $1$, $2$, $3$에 대응: $3!=6$

$\therefore$ $6\times 6=$ $36$

사고 흐름

① 치역 $=$ 공역이면 공역의 원소를 모두 쓴다

② 정의역을 공역 원소 수만큼 묶는다

③ 묶음을 공역 원소에 배정한다

DOYEONMATH · 김도연T