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미적분1 · 함수의 극한과 연속

05 연속함수의 성질과 사잇값 정리

개념
연속함수의 성질 $cf$, $f\pm g$, $fg$, $\frac fg$ ($g\ne0$)도 연속
최대·최소 정리 닫힌구간에서 연속 → 최댓값·최솟값 존재
사잇값 정리 $f(a)f(b)<0$ → $(a, b)$에 실근 존재
자주 나오는 유형

유형 1 연속함수의 성질

문제 · 기본
두 함수 $f(x)=x^2-1$, $g(x)=x^2-4x+3$에 대하여 함수 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$가 불연속인 모든 $x$의 값의 합을 구하시오.
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$f$, $g$는 다항함수이므로 연속
$\frac fg$는 $g(x)=0$인 점에서만 불연속
$g(x)=(x-1)(x-3)=0$에서 $x=1$, $3$
$\therefore$ $4$
사고 흐름
① 연속함수끼리의 몫은 분모가 $0$이 아닌 곳에서 연속
② 분모가 $0$인 $x$를 찾는다
③ 그 값들을 더한다
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문제 · 심화
두 함수 $f(x)=\begin{cases}x+a & (x<1)\\ x^2 & (x\ge1)\end{cases}$, $g(x)=\begin{cases}2x & (x<1)\\ x+b & (x\ge1)\end{cases}$에 대하여 $f(x)+g(x)$, $f(x)g(x)$가 모두 $x=1$에서 연속일 때, $a+b$의 값을 구하시오.
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$f+g$: 좌극한 $3+a$, 함숫값 $2+b$ → $b=a+1$
$fg$: 좌극한 $2(1+a)$, 함숫값 $1\times(1+b)$
$2+2a=2+a$에서 $a=0$, $b=1$
$\therefore$ $a+b=$ $1$
사고 흐름
① 새 함수마다 경계에서 좌극한과 함숫값을 비교한다
② 조건마다 식을 하나씩 얻는다
③ 연립해 상수를 구한다
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유형 2 $f(x)g(x)$ 꼴의 연속빈출

문제 · 기본
함수 $f(x)=\begin{cases}x+1 & (x\ge0)\\ x-1 & (x<0)\end{cases}$과 $g(x)=x+a-2$에 대하여 $f(x)g(x)$가 $x=0$에서 연속일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
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우극한 $1\times(a-2)$, 좌극한 $(-1)\times(a-2)$
같으려면 $a-2=0$, 즉 $g(0)=0$
$\therefore$ $a=$ $2$
사고 흐름
① $f$가 끊기는 점에서 곱의 좌우극한을 구한다
② $f$의 좌우 값이 다르면 $g$의 값이 $0$이어야 한다
③ $g(0)=0$을 푼다
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문제 · 심화
함수 $f(x)=\begin{cases}x+2 & (x<1)\\ -x & (x\ge1)\end{cases}$과 이차함수 $g(x)=x^2+ax+b$에 대하여 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 $g(3)=4$일 때, $g(4)$의 값을 구하시오.
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$x=1$: 좌극한 $3g(1)$, 우극한 $-g(1)$
$3g(1)=-g(1)$이므로 $g(1)=0$: $1+a+b=0$
$9+3a+b=4$ → $a=-2$, $b=1$, $g(x)=(x-1)^2$
$\therefore$ $g(4)=$ $9$
사고 흐름
① 불연속점에서 곱의 좌우극한을 쓴다
② $g$가 그 점에서 $0$이 되어야 한다
③ 나머지 조건으로 $g$를 완성한다
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유형 3 $\frac{g(x)}{f(x)}$, $f(x)f(x-a)$ 꼴의 연속

문제 · 기본
두 함수 $f(x)=x^2+ax+4$, $g(x)=x-1$에 대하여 함수 $\dfrac{g(x)}{f(x)}$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.
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분모 $f(x)$가 $0$이 되는 $x$가 없어야 한다
$x^2+ax+4=0$의 판별식 $a^2-16<0$
$-4<a<4$
$\therefore$ 정수 $7$개
사고 흐름
① 몫이 연속이려면 분모가 $0$이 되면 안 된다
② 분모 $=0$이 실근을 갖지 않는 조건을 쓴다
③ 범위 안의 정수를 센다
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문제 · 심화
함수 $f(x)=\begin{cases}x+1 & (x<0)\\ x-1 & (x\ge0)\end{cases}$에 대하여 함수 $f(x)f(x-a)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 양수 $a$의 값을 구하시오.
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$f$는 $x=0$에서만 불연속 (좌 $1$, 우 $-1$), $f(x-a)$는 $x=a$에서 불연속
$x=0$에서 연속이려면 $f(-a)=0$, $x=a$에서 연속이려면 $f(a)=0$
$f(x)=0$의 해는 $x=-1$, $1$이므로 $a=1$ ($a>0$)
$\therefore$ $a=$ $1$
사고 흐름
① 두 인수의 불연속점을 각각 찾는다
② 한 인수가 끊기는 곳에서 다른 인수가 $0$이어야 한다
③ 두 조건을 동시에 만족하는 $a$를 구한다
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유형 4 연속함수의 성질 진위 판단빈출

문제 · 기본
두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $f$, $g$가 $x=a$에서 연속이면 $f-2g$도 연속이다.
ㄴ. $|f|$가 $x=a$에서 연속이면 $f$도 연속이다.
ㄷ. $f$가 $x=a$에서 연속이면 $|f|$도 연속이다.
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ㄱ. 연속함수의 성질 (참)
ㄴ. 반례: $f(x)=1$ ($x\ge0$), $-1$ ($x<0$)이면 $|f|=1$ (거짓)
ㄷ. $\lim|f(x)|=|\lim f(x)|=|f(a)|$ (참)
$\therefore$ ㄱ, ㄷ
사고 흐름
① 성질로 바로 판단되는 것부터 고른다
② 절댓값은 부호 정보를 지운다
③ 반례 하나로 거짓을 보인다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=\begin{cases}1 & (x\ge0)\\ -1 & (x<0)\end{cases}$, $g(x)=x$에 대하여 보기에서 $x=0$에서 연속인 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $f(x)g(x)$
ㄴ. $f(x)+g(x)$
ㄷ. $f(x)f(-x)$
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ㄱ. $f(x)g(x)=|x|$ (연속)
ㄴ. 좌극한 $-1$, 우극한 $1$ (불연속)
ㄷ. $x\ne0$이면 $-1$, $x=0$이면 $1$ (불연속)
$\therefore$ ㄱ
사고 흐름
① 각 함수를 $x>0$, $x<0$, $x=0$으로 나눠 쓴다
② 좌극한·우극한·함숫값을 비교한다
③ 함숫값만 다른 경우도 불연속이다
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유형 5 연속 조건으로 함수 구하기

문제 · 기본
최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)=\begin{cases}\dfrac{f(x)}{x-1} & (x\ne1)\\ 2 & (x=1)\end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
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$x=1$에서 극한값이 있으려면 $f(1)=0$, $f(x)=(x-1)(x+c)$
$\lim_{x\to1}(x+c)=1+c=2$에서 $c=1$
$f(x)=(x-1)(x+1)$
$\therefore$ $f(2)=$ $3$
사고 흐름
① 분모가 $0$인 점에서 분자도 $0$이어야 한다
② $f$를 인수가 드러나게 놓는다
③ 극한값 $=$ 함숫값으로 나머지를 정한다
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문제 · 심화
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)=\begin{cases}\dfrac{f(x)}{x^2-3x+2} & (x\ne1, x\ne2)\\ 3 & (x=1)\\ b & (x=2)\end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $b+f(3)$의 값을 구하시오.
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$f(1)=f(2)=0$이므로 $f(x)=(x-1)(x-2)(x+c)$, $g(x)=x+c$ ($x\ne1, 2$)
$g(1)=1+c=3$에서 $c=2$
$b=\lim_{x\to2}(x+2)=4$, $f(3)=2\times1\times5=10$
$\therefore$ $b+f(3)=$ $14$
사고 흐름
① 분모의 두 근에서 분자가 모두 $0$이어야 한다
② 약분한 식으로 각 점의 극한값을 구한다
③ 함숫값 조건으로 남은 계수를 구한다
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유형 6 최대·최소 정리

문제 · 기본
보기의 함수 중 주어진 구간에서 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $f(x)=\frac1x$ $[1, 2]$
ㄴ. $g(x)=x^2$ $(0, 1)$
ㄷ. $h(x)=\dfrac{1}{x-2}$ $[1, 3]$
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ㄱ. 닫힌구간에서 연속 → 최대·최소 정리 (참)
ㄴ. 열린구간: $0$과 $1$에 가까워지기만 할 뿐 최댓값·최솟값이 없다 (거짓)
ㄷ. $x=2$에서 불연속, 값이 한없이 커진다 (거짓)
$\therefore$ ㄱ
사고 흐름
① 구간이 닫힌구간인지 본다
② 그 구간에서 연속인지 본다
③ 두 조건을 모두 만족해야 정리가 적용된다
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문제 · 심화
함수 $f(x)=\begin{cases}x^2+a & (x\le1)\\ -x+3a & (x>1)\end{cases}$가 $x=1$에서 연속일 때, 닫힌구간 $[0, 3]$에서 $f(x)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M+m$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)
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$x=1$에서 연속: $1+a=-1+3a$, $a=1$
$[0, 1]$: $x^2+1$은 $1$부터 $2$까지 증가, $(1, 3]$: $-x+3$은 $2$에서 $0$까지 감소
$M=2$, $m=0$
$\therefore$ $M+m=$ $2$
사고 흐름
① 연속 조건으로 상수를 먼저 구한다
② 닫힌구간에서 연속이므로 최댓값·최솟값이 존재한다
③ 구간별 증감으로 값을 찾는다
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유형 7 사잇값 정리 — 실근의 존재빈출

문제 · 기본
방정식 $x^3+x-3=0$의 실근이 열린구간 $(n, n+1)$에 존재할 때, 정수 $n$의 값을 구하시오.
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$f(x)=x^3+x-3$은 연속
$f(1)=-1<0$, $f(2)=7>0$
사잇값 정리에 의해 $(1, 2)$에 실근이 존재 ($f$는 증가하므로 실근은 하나)
$\therefore$ $n=$ $1$
사고 흐름
① 정수에서 함숫값을 차례로 구한다
② 부호가 바뀌는 구간을 찾는다
③ 사잇값 정리로 실근의 존재를 말한다
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문제 · 심화
방정식 $x^2+ax-2=0$이 열린구간 $(1, 3)$에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리로 보일 수 있도록 $f(1)f(3)<0$이 되는 정수 $a$의 개수를 구하시오. (단, $f(x)=x^2+ax-2$)
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$f(1)=a-1$, $f(3)=3a+7$
$(a-1)(3a+7)<0$
$-\frac73<a<1$
$\therefore$ 정수 $-2$, $-1$, $0$의 $3$개
사고 흐름
① 구간 양 끝의 함숫값을 문자로 나타낸다
② 부호가 다를 조건을 부등식으로 쓴다
③ 범위 안의 정수를 센다
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유형 8 사잇값 정리 — 실근의 최소 개수빈출

문제 · 기본
연속함수 $f(x)$에 대하여 $f(-1)=2$, $f(0)=-1$, $f(1)=3$, $f(2)=-2$일 때, 방정식 $f(x)=0$은 열린구간 $(-1, 2)$에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는지 구하시오.
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부호가 바뀌는 구간: $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$
각 구간에 사잇값 정리로 실근이 적어도 하나씩
$\therefore$ 적어도 $3$개
사고 흐름
① 주어진 점의 함숫값 부호를 나열한다
② 부호가 바뀌는 구간마다 실근이 하나 이상
③ 구간 수가 실근의 최소 개수
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
연속함수 $f(x)$에 대하여 $f(-1)=a$, $f(0)=-2$, $f(1)=a-3$, $f(2)=4$일 때, 방정식 $f(x)=0$이 닫힌구간 $[-1, 2]$에서 적어도 두 개의 실근을 갖도록 하는 정수 $a$의 최솟값을 구하시오.
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$a\ge1$이면 $(-1, 0)$에서 부호가 바뀌고, $(0, 1)$ 또는 $(1, 2)$에서도 바뀐다
$a=0$이면 $f(-1)=0$이 실근, $f(1)=-3$, $f(2)=4$로 $(1, 2)$에도 실근
$a=-1$이면 $-1$, $-2$, $-4$, $4$로 보장되는 실근은 하나뿐
$\therefore$ 최솟값 $0$
사고 흐름
① $a$의 값마다 부호 변화와 $0$인 점을 센다
② 함숫값이 $0$인 끝점도 실근이다
③ 조건을 만족하는 가장 작은 정수를 찾는다
DOYEONMATH · 김도연T