미적분1 · 함수의 극한과 연속

03 극한을 이용한 미정계수와 함수의 결정

개념

미정계수 $\lim\frac{f(x)}{g(x)}$가 존재하고 $g(x)\to0$이면 $f(x)\to0$

다항함수의 결정 $\frac\infty\infty$ 꼴로 차수·최고차항, $\frac00$ 꼴로 인수를 정한다

대소 관계 $f\le h\le g$이고 $\lim f=\lim g=L$이면 $\lim h=L$

자주 나오는 유형

유형 1극한을 이용한 미정계수의 결정
유형 2다항함수의 결정 — $\frac00$ 꼴
유형 3다항함수의 결정 — $\frac\infty\infty$ 꼴
유형 4함수의 극한의 대소 관계
유형 5함수의 극한에 대한 성질의 진위 판단
유형 6새롭게 정의된 함수의 극한
유형 7함수의 극한의 도형에의 활용

유형 1 극한을 이용한 미정계수의 결정빈출

문제 · 기본

$\lim_{x\to-2}\dfrac{x^2+ax+b}{x+2}=-3$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하시오.

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분모 $\to0$이므로 분자 $\to0$: $4-2a+b=0$

$x^2+ax+b=(x+2)(x+c)$로 놓으면 극한값 $c-2=-3$, $c=-1$

$(x+2)(x-1)=x^2+x-2$이므로 $a=1$, $b=-2$

$\therefore$ $a-b=$ $3$

사고 흐름

① 분모가 $0$으로 가면 분자도 $0$으로 가야 극한값이 있다

② 분자를 $(x+2)\times$(일차식)으로 놓는다

③ 약분한 뒤 극한값과 비교한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

$\lim_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x+a}-3}{x-2}=b$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+6b$의 값을 구하시오.

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분자 $\to0$: $\sqrt{2+a}=3$, $a=7$

유리화: $\dfrac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$

$b=\dfrac{1}{3+3}=\frac16$

$\therefore$ $a+6b=$ $8$

사고 흐름

① 분자 $\to0$ 조건으로 근호 안의 상수를 구한다

② 분자를 유리화해 $x-2$를 약분한다

③ 남은 식으로 극한값을 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 다항함수의 결정 — $\frac00$ 꼴빈출

문제 · 기본

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 $\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)}{x-1}=3$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

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분모 $\to0$이므로 $f(1)=0$

$f(x)=(x-1)(x+c)$로 놓으면 극한값 $1+c=3$

$c=2$, $f(x)=(x-1)(x+2)$

$\therefore$ $f(2)=$ $4$

사고 흐름

① $\frac00$ 꼴이 되려면 $f(1)=0$

② $f(x)$를 $(x-1)$을 인수로 갖는 꼴로 놓는다

③ 약분한 뒤 극한값으로 나머지를 정한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 $\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=2$, $\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)}{x-1}=-1$을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하시오.

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$f(0)=0$, $f(1)=0$이므로 $f(x)=x(x-1)(x+c)$

$\lim_{x\to0}(x-1)(x+c)=-c=2$, $c=-2$

확인: $\lim_{x\to1}x(x+c)=1+c=-1$ ✓

$f(x)=x(x-1)(x-2)$ $\therefore$ $f(3)=$ $6$

사고 흐름

① 두 조건에서 인수 $x$, $x-1$을 얻는다

② 나머지 일차식을 $(x+c)$로 놓는다

③ 극한값으로 $c$를 구하고 다른 조건으로 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 다항함수의 결정 — $\frac\infty\infty$ 꼴빈출

문제 · 기본

다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x^2+1}=2$, $\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=3$을 만족시킬 때, $f(1)$의 값을 구하시오.

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첫 조건: $f(x)$는 최고차항이 $2x^2$인 이차식

둘째 조건: $f(0)=0$, $f(x)=2x^2+bx$에서 $\lim(2x+b)=b=3$

$f(x)=2x^2+3x$

$\therefore$ $f(1)=$ $5$

사고 흐름

① $x\to\infty$ 극한으로 차수와 최고차항을 정한다

② $x\to0$ 극한으로 상수항과 일차항을 정한다

③ 완성한 식에 대입한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-x^3}{x^2}=2$, $\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)}{x-1}=7$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

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첫 조건: $f(x)-x^3$은 최고차항이 $2x^2$ → $f(x)=x^3+2x^2+ax+b$

분모 $\to0$이므로 $f(1)=0$: $3+a+b=0$

$\dfrac{f(x)}{x-1}=x^2+3x+(a+3)$에서 $1+3+a+3=7$, $a=0$, $b=-3$

$\therefore$ $f(2)=8+8-3=$ $13$

사고 흐름

① $\frac\infty\infty$ 조건으로 식의 꼴을 정한다

② $\frac00$ 조건으로 $f(1)=0$을 얻는다

③ 나눗셈으로 몫을 구해 극한값과 비교한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 함수의 극한의 대소 관계빈출

문제 · 기본

함수 $f(x)$가 모든 양수 $x$에 대하여 $4x^2-1\le f(x)\le4x^2+2x$를 만족시킬 때, $\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{2x^2+1}$의 값을 구하시오.

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각 변을 $2x^2+1$로 나눈다

$\lim\dfrac{4x^2-1}{2x^2+1}=2$, $\lim\dfrac{4x^2+2x}{2x^2+1}=2$

양쪽 극한이 같으므로 가운데도 같다

$\therefore$ $2$

사고 흐름

① 부등식의 각 변을 같은 양수로 나눈다

② 양쪽 끝의 극한을 구한다

③ 두 극한이 같으면 가운데 극한도 같다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $|f(x)-3x|\le x^2$을 만족시킬 때, $\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}$의 값을 구하시오.

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$3x-x^2\le f(x)\le3x+x^2$

$x>0$이면 $3-x\le\dfrac{f(x)}{x}\le3+x$, $x<0$이면 부등호가 바뀐다

어느 쪽이든 양 끝이 $3$으로 수렴

$\therefore$ $3$

사고 흐름

① 절댓값 부등식을 풀어 양쪽으로 쓴다

② $x$로 나눌 때 부호에 따라 부등호 방향이 바뀐다

③ 좌극한·우극한 모두 같은 값임을 확인한다

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유형 5 함수의 극한에 대한 성질의 진위 판단

문제 · 기본

두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오. (단, $\lim$은 $x\to a$일 때의 극한)

ㄱ. $\lim f(x)$, $\lim g(x)$가 존재하면 $\lim\{f(x)+g(x)\}$도 존재한다.

ㄴ. $\lim\{f(x)+g(x)\}$, $\lim f(x)$가 존재하면 $\lim g(x)$도 존재한다.

ㄷ. $\lim f(x)g(x)$, $\lim f(x)$가 존재하면 $\lim g(x)$도 존재한다.

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ㄱ. 성질 그대로 (참)

ㄴ. $g=\{f+g\}-f$이므로 존재 (참)

ㄷ. 반례: $f(x)=0$, $g(x)=\frac1x$ ($a=0$) (거짓)

$\therefore$ ㄱ, ㄴ

사고 흐름

① 존재하는 식들로 나머지를 나타낼 수 있는지 본다

② 나눗셈이 필요하면 분모가 $0$일 수 있다

③ 반례 하나로 거짓을 보인다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오. (단, ㄱ, ㄴ의 $\lim$은 $x\to\infty$, ㄷ은 $x\to a$)

ㄱ. $\lim f(x)=\lim g(x)=\infty$이면 $\lim\{f(x)-g(x)\}=0$이다.

ㄴ. $\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$, $\lim g(x)=\infty$이면 $\lim f(x)=\infty$이다.

ㄷ. $\lim\{f(x)-g(x)\}=0$, $\lim g(x)=2$이면 $\lim f(x)=2$이다.

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ㄱ. 반례: $f(x)=2x$, $g(x)=x$이면 $f-g\to\infty$ (거짓)

ㄴ. $f(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\times g(x)$이고 $1\times\infty$ 꼴 (참)

ㄷ. $f=\{f-g\}+g\to0+2$ (참)

$\therefore$ ㄴ, ㄷ

사고 흐름

① $\infty-\infty$는 값이 정해지지 않는다

② 곱의 꼴로 바꿔 판단한다

③ 극한값이 존재하는 식의 합으로 나타낸다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 새롭게 정의된 함수의 극한

문제 · 기본

실수 $t$에 대하여 직선 $y=t$와 곡선 $y=|x^2-1|$의 교점의 개수를 $g(t)$라 할 때, $\lim_{t\to1-}g(t)+\lim_{t\to0+}g(t)$의 값을 구하시오.

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$y=|x^2-1|$은 $x=\pm1$에서 $0$, $x=0$에서 극댓값 $1$

$0<t<1$이면 교점 $4$개

$\lim_{t\to1-}g(t)=4$, $\lim_{t\to0+}g(t)=4$

$\therefore$ $8$

사고 흐름

① 곡선을 그리고 수평선 $y=t$를 움직인다

② $t$의 범위마다 교점 수를 정리한다

③ 한쪽 극한은 그 범위의 값으로 읽는다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

실수 $t$에 대하여 직선 $y=t$와 곡선 $y=x^3-3x$의 교점의 개수를 $g(t)$라 할 때, $\lim_{t\to2-}g(t)+\lim_{t\to2+}g(t)+g(2)$의 값을 구하시오.

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극댓값 $2$ ($x=-1$), 극솟값 $-2$ ($x=1$)

$-2<t<2$이면 $3$개, $t=2$이면 $2$개, $t>2$이면 $1$개

$3+1+2$

$=$ $6$

사고 흐름

① 극값을 경계로 교점 수가 바뀐다

② 경계값과 그 좌우 범위를 따로 센다

③ 극한과 함숫값을 구분해 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 7 함수의 극한의 도형에의 활용빈출

문제 · 기본

곡선 $y=x^2$ 위의 점 P$(t, t^2)$ ($t>0$)에서 $x$축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 삼각형 OPH의 넓이를 $S(t)$라 할 때, $\lim_{t\to0+}\dfrac{S(t)}{t^3}$의 값을 구하시오. (단, O는 원점)

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$S(t)=\frac12\times t\times t^2=\dfrac{t^3}{2}$

$\dfrac{S(t)}{t^3}=\frac12$

$\therefore$ $\frac12$

사고 흐름

① 점의 좌표를 $t$로 나타낸다

② 넓이를 $t$의 식으로 쓴다

③ 극한을 계산한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

곡선 $y=x^2$ 위의 점 P$(t, t^2)$에 대하여 선분 OP의 수직이등분선의 $y$절편을 $f(t)$라 할 때, $\lim_{t\to0}f(t)$의 값을 구하시오. (단, O는 원점, $t\ne0$)

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중점 $\left(\frac t2, \dfrac{t^2}2\right)$, OP의 기울기 $t$

수직이등분선: $y-\dfrac{t^2}2=-\frac1t\left(x-\frac t2\right)$

$x=0$: $f(t)=\dfrac{t^2}{2}+\frac12$

$\therefore$ $\frac12$

사고 흐름

① 중점과 기울기로 수직이등분선을 세운다

② $y$절편을 $t$의 식으로 구한다

③ $t\to0$의 극한을 구한다

DOYEONMATH · 김도연T