미적분1 · 함수의 극한과 연속

01 함수의 극한과 좌극한·우극한

개념

수렴 $x\to a$일 때 $f(x)\to L$이면 $\lim_{x\to a}f(x)=L$

좌극한·우극한 $\lim_{x\to a-}f(x)$, $\lim_{x\to a+}f(x)$

극한값의 존재 좌극한 $=$ 우극한일 때만 존재 (함숫값과는 무관)

$[x]$ $x$보다 크지 않은 최대의 정수 [교과서 본문 밖]

자주 나오는 유형

유형 1그래프에서 함수의 극한
유형 2식에서 극한값과 극한값의 존재 조건
유형 3절댓값 기호를 포함한 함수의 극한
유형 4$[x]$를 포함한 함수의 극한
유형 5치환을 이용한 극한값
유형 6합성함수의 극한

유형 1 그래프에서 함수의 극한

문제 · 기본

함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같을 때, $\lim_{x\to1-}f(x)+\lim_{x\to2+}f(x)+f(1)$의 값을 구하시오.

$x$

$y$

$O$

$1$

$2$

$1$

$2$

$3$

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$x=1$의 왼쪽에서 다가가면 $2$, 즉 $\lim_{x\to1-}f(x)=2$

$x=2$의 오른쪽에서 다가가면 $1$, 즉 $\lim_{x\to2+}f(x)=1$

$f(1)=1$ (속이 찬 점)

$\therefore$ $2+1+1=$ $4$

사고 흐름

① 좌극한은 왼쪽 그래프, 우극한은 오른쪽 그래프를 따라간다

② 빈 점·찬 점은 극한값에 영향을 주지 않는다

③ 함숫값은 속이 찬 점에서 읽는다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같을 때, $-1<a<3$인 정수 $a$ 중 $\lim_{x\to a}f(x)$가 존재하는 $a$의 개수를 구하시오.

$x$

$y$

$O$

$1$

$2$

$1$

$2$

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$a=0$: 좌극한 $0$, 우극한 $0$ → 존재

$a=1$: 좌우극한 모두 $1$ → 존재 ($f(1)=2$와 무관)

$a=2$: 좌극한 $0$, 우극한 $1$ → 존재하지 않음

$\therefore$ $2$개

사고 흐름

① 후보 정수마다 좌극한과 우극한을 읽는다

② 두 값이 같으면 극한값이 존재한다

③ 함숫값이 달라도 극한값은 존재할 수 있다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 식에서 극한값과 극한값의 존재 조건

문제 · 기본

함수 $f(x)=\begin{cases}x^2-2x+3 & (x\le2)\\ -x+k & (x>2)\end{cases}$에 대하여 $\lim_{x\to2}f(x)$의 값이 존재할 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

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좌극한 $\lim_{x\to2-}(x^2-2x+3)=3$

우극한 $\lim_{x\to2+}(-x+k)=k-2$

좌극한 $=$ 우극한: $3=k-2$

$\therefore$ $k=$ $5$

사고 흐름

① 경계 $x=2$에서 좌우의 식을 구분한다

② 각각 극한을 구한다

③ 같다고 놓아 상수를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=\begin{cases}x^2+ax & (x<1)\\ 2x-b & (1\le x<3)\\ x^2+c & (x\ge3)\end{cases}$에 대하여 $\lim_{x\to1}f(x)$, $\lim_{x\to3}f(x)$가 존재하고 $\lim_{x\to3-}f(x)=4$일 때, $a+b+c$의 값을 구하시오.

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$\lim_{x\to3-}f(x)=6-b=4$에서 $b=2$

$x=1$: $1+a=2-b=0$에서 $a=-1$

$x=3$: $4=9+c$에서 $c=-5$

$\therefore$ $a+b+c=$ $-4$

사고 흐름

① 주어진 한쪽 극한값부터 이용한다

② 경계마다 좌극한 $=$ 우극한을 세운다

③ 순서대로 상수를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 절댓값 기호를 포함한 함수의 극한

문제 · 기본

$\lim_{x\to2+}\dfrac{|x-2|}{x-2}+\lim_{x\to2-}\dfrac{x^2-4}{|x-2|}$의 값을 구하시오.

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$x>2$이면 $|x-2|=x-2$, $x<2$이면 $|x-2|=-(x-2)$

$\lim_{x\to2+}\dfrac{x-2}{x-2}=1$

$\lim_{x\to2-}\dfrac{(x-2)(x+2)}{-(x-2)}=-4$

$\therefore$ $1-4=$ $-3$

사고 흐름

① 다가가는 방향으로 절댓값 안의 부호를 정한다

② 절댓값을 풀고 약분한다

③ 각 극한을 계산해 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

$\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+ax+b}{|x-1|}$의 값이 존재할 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.

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분모 $\to0$이므로 분자 $\to0$: $1+a+b=0$, 분자 $=(x-1)(x-c)$ 꼴

우극한 $1-c$, 좌극한 $-(1-c)$

같으려면 $1-c=0$, 분자 $=(x-1)^2$

$a=-2$, $b=1$ $\therefore$ $a+b=$ $-1$

사고 흐름

① 분모가 $0$으로 가면 분자도 $0$으로 가야 한다

② 절댓값 때문에 좌우극한의 부호가 반대가 된다

③ 두 값이 같으려면 둘 다 $0$이어야 한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 $[x]$를 포함한 함수의 극한

문제 · 기본

$\lim_{x\to2+}[x]+\lim_{x\to2-}[x]$의 값을 구하시오. (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수)

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$2<x<3$이면 $[x]=2$, $1<x<2$이면 $[x]=1$

$\lim_{x\to2+}[x]=2$, $\lim_{x\to2-}[x]=1$

$\therefore$ $2+1=$ $3$

사고 흐름

① 정수 근처에서 $x$의 범위를 잡는다

② 그 범위에서 $[x]$는 상수다

③ 좌우를 따로 계산한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

$\lim_{x\to1}([x]^2+a[x])$의 값이 존재할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수)

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$x\to1+$이면 $[x]=1$: 우극한 $1+a$

$x\to1-$이면 $[x]=0$: 좌극한 $0$

$1+a=0$

$\therefore$ $a=$ $-1$

사고 흐름

① $[x]$를 좌우에서 각각 정수로 바꾼다

② 식의 좌극한과 우극한을 구한다

③ 같다고 놓는다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 5 치환을 이용한 극한값

문제 · 기본

함수 $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$에 대하여 $\lim_{x\to0+}f\left(\frac1x\right)$의 값을 구하시오.

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$\frac1x=t$로 놓으면 $x\to0+$일 때 $t\to\infty$

$\lim_{t\to\infty}\dfrac{2t+1}{t-1}$

$=$ $2$

사고 흐름

① 안쪽 식을 $t$로 놓는다

② $x$가 다가가는 방향으로 $t$가 어디로 가는지 정한다

③ $t$에 대한 극한으로 계산한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

$\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$의 값을 구하시오.

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$x=-t$로 놓으면 $t\to\infty$: $\lim_{t\to\infty}(\sqrt{t^2-3t}-t)$

유리화: $\dfrac{-3t}{\sqrt{t^2-3t}+t}$

분모·분자를 $t$로 나누면 $\dfrac{-3}{1+1}$

$=$ $-\frac32$

사고 흐름

① $x\to-\infty$는 $x=-t$로 바꿔 $t\to\infty$로

② $\sqrt{x^2}=|x|=t$임에 주의한다

③ 유리화 후 최고차항으로 나눈다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 합성함수의 극한

문제 · 기본

함수 $f(x)=\begin{cases}x-1 & (x<0)\\ x+2 & (x\ge0)\end{cases}$에 대하여 $\lim_{x\to0}f(x^2)$의 값을 구하시오.

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$t=x^2$으로 놓으면 $x\to0$일 때 $t\to0+$

$\lim_{t\to0+}f(t)=\lim_{t\to0+}(t+2)$

$=$ $2$

사고 흐름

① 안쪽 함수를 $t$로 놓는다

② $t$가 $0$에 어느 쪽에서 다가가는지 본다 ($x^2\ge0$)

③ 그 방향의 극한만 계산한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=\begin{cases}x+1 & (x<1)\\ -x+1 & (x\ge1)\end{cases}$에 대하여 $\lim_{x\to1-}f(f(x))+\lim_{x\to1+}f(f(x))$의 값을 구하시오.

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$x\to1-$: $t=f(x)=x+1\to2-$, $\lim_{t\to2-}f(t)=-1$

$x\to1+$: $t=-x+1\to0-$ (음수 쪽)

$\lim_{t\to0-}f(t)=\lim_{t\to0-}(t+1)=1$

$\therefore$ $-1+1=$ $0$

사고 흐름

① 안쪽 $f(x)$가 어디로, 어느 방향에서 다가가는지 구한다

② 그 방향에 맞는 바깥 함수의 식을 고른다

③ 좌우를 따로 계산해 더한다

DOYEONMATH · 김도연T