미적분1 · 적분

09 속도와 거리

개념

위치 $x=x_0+\int_a^t v(s)\,ds$ ($x_0$: $t=a$에서의 위치)

위치의 변화량 $\int_a^b v(t)\,dt$

움직인 거리 $\int_a^b|v(t)|\,dt$, $v(t)=0$인 시각에서 나눈다

속도 그래프 넓이를 위는 $+$, 아래는 $-$ (위치) / 모두 $+$ (거리)

자주 나오는 유형

유형 1위치와 위치의 변화량
유형 2움직인 거리
유형 3속도의 그래프에서 위치와 움직인 거리
유형 4두 점의 운동

유형 1 위치와 위치의 변화량빈출

문제 · 기본

좌표가 $3$인 점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ ($t\ge0$)에서의 속도가 $v(t)=6t-3t^2$이다. $t=2$에서 점 P의 위치와 $t=1$부터 $t=3$까지 위치의 변화량의 합을 구하시오.

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위치 $=3+\int_{0}^{2}(6t-3t^2)\,dt$$=3+4=7$

위치의 변화량 $=\int_{1}^{3}(6t-3t^2)\,dt=\Big[3t^2-t^3\Big]_{1}^{3}=-2$

$\therefore$ $7+(-2)=$ $5$

사고 흐름

① 위치는 처음 위치에 속도의 정적분을 더한다

② 위치의 변화량은 처음 위치와 관계없다

③ 출발점의 좌표를 빠뜨리지 않는다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ ($t\ge0$)에서의 속도가 $v(t)=t^2-4t+3$이다. 점 P가 출발한 후 다시 원점을 지나는 시각을 구하시오.

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시각 $T$에서의 위치 $\int_{0}^{T}(t^2-4t+3)\,dt=\frac{T^3}{3}-2T^2+3T$

위치 $=0$: $\frac{T}{3}(T^2-6T+9)=\frac{T}{3}(T-3)^2=0$

$T>0$이므로 $T=$ $3$

사고 흐름

① 원점을 지난다 ⇔ 그 시각의 위치가 $0$

② 위치를 $T$의 식으로 쓴다

③ $T>0$인 근을 고른다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 움직인 거리빈출

문제 · 기본

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)=4-2t$일 때, $t=0$부터 $t=4$까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오.

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$v(t)=0$인 $t=2$에서 운동 방향이 바뀐다

$\int_{0}^{2}(4-2t)\,dt=4$, $\int_{2}^{4}(2t-4)\,dt=4$

$\therefore$ $4+4=$ $8$

사고 흐름

① 속도가 $0$이 되는 시각을 찾는다

② 그 시각에서 구간을 나눠 $|v(t)|$를 적분한다

③ 위치의 변화량($0$)과 구분한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ ($t\ge0$)에서의 속도가 $v(t)=t^2-2t$이다. 점 P가 다시 원점으로 돌아올 때까지 움직인 거리를 구하시오.

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$\int_{0}^{T}(t^2-2t)\,dt=\frac{T^3}{3}-T^2=0$에서 $T=3$

$t=2$에서 방향이 바뀌므로 나눈다

$\int_{0}^{2}(2t-t^2)\,dt+\int_{2}^{3}(t^2-2t)\,dt=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$

$\therefore$ $\frac{8}{3}$

사고 흐름

① 원점으로 돌아오는 시각을 위치 $=0$으로 구한다

② 그 사이 운동 방향이 바뀌는 시각을 찾는다

③ 구간별로 $|v(t)|$를 적분해 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 속도의 그래프에서 위치와 움직인 거리빈출

문제 · 기본

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$의 그래프가 그림과 같다. $t=0$부터 $t=6$까지 위치의 변화량 $a$, 움직인 거리 $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.

$t$

$v(t)$

$O$

$1$

$3$

$4$

$5$

$6$

$2$

$-2$

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넓이: $[0, 4]$에서 $1+4+1=6$ ($t$축 위), $[4, 6]$에서 $1+2=3$ ($t$축 아래)

위치의 변화량은 위 $-$ 아래, 거리는 위 $+$ 아래

$a=6-3=3$, $b=6+3=9$

$\therefore$ $a+b=$ $12$

사고 흐름

① 그래프와 $t$축 사이를 위·아래 부분으로 나눠 넓이를 구한다

② 위치의 변화량은 아래 넓이를 뺀다

③ 움직인 거리는 모두 더한다

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문제 · 심화

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$의 그래프가 그림과 같다. ($t\ge4$에서 $v(t)=-2$) 점 P가 출발한 후 처음으로 다시 원점을 지나는 시각을 구하시오.

$t$

$v(t)$

$O$

$2$

$3$

$4$

$2$

$-2$

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$t=3$까지 넓이 $4+1=5$ → 위치 $5$ (가장 멀리)

$t=4$일 때 위치 $5-1=4$

$t\ge4$에서 위치 $4-2(t-4)=0$

$\therefore$ $t=$ $6$

사고 흐름

① 그래프의 넓이로 시각별 위치를 차례로 구한다

② $v(t)<0$인 구간에서 위치가 줄어든다

③ 남은 거리를 속력으로 나눠 시각을 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 두 점의 운동

문제 · 기본

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t$에서의 속도가 각각 $3t^2$, $6t$이다. 두 점이 출발한 후 다시 만나는 시각을 구하시오.

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$x_{\rm P}(t)=t^3$, $x_{\rm Q}(t)=3t^2$

만난다 ⇔ 위치가 같다: $t^3=3t^2$

$t^2(t-3)=0$, $t>0$이므로 $t=$ $3$

사고 흐름

① 각 점의 위치를 속도의 정적분으로 구한다

② 두 위치가 같다는 방정식을 세운다

③ 출발 시각 $t=0$을 제외한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t$에서의 속도가 각각 $3t^2-8t$, $2t$이다. 출발 후 다시 만날 때까지 두 점 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.

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$x_{\rm P}=t^3-4t^2$, $x_{\rm Q}=t^2$, 다시 만나는 시각 $t=5$

$d(t)=x_{\rm Q}-x_{\rm P}=5t^2-t^3$ ($0\le t\le5$)

$d'(t)=10t-3t^2=0$에서 $t=\frac{10}{3}$

$d\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{500}{9}-\frac{1000}{27}=$ $\frac{500}{27}$

사고 흐름

① 두 위치의 차로 거리를 나타낸다 (절댓값에 주의)

② 다시 만나는 시각까지를 구간으로 잡는다

③ 거리 함수를 미분해 최댓값을 구한다

DOYEONMATH · 김도연T