미적분1 · 적분

07 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

개념

곡선과 $x$축 $S=\int_a^b|f(x)|\,dx$, $x$축 아래는 부호를 바꿔 더한다

두 곡선 $S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$, (위) $-$ (아래)

순서 교점 → 구간마다 위·아래 판단 → 적분해 더하기

평행이동 도형을 평행이동해도 넓이는 변하지 않는다

자주 나오는 유형

유형 1곡선과 $x$축 사이의 넓이
유형 2절댓값 함수의 그래프와 넓이
유형 3곡선과 직선 사이의 넓이
유형 4두 곡선 사이의 넓이
유형 5곡선과 접선 사이의 넓이

유형 1 곡선과 $x$축 사이의 넓이빈출

문제 · 기본

곡선 $y=x^2-4x+3$과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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교점: $(x-1)(x-3)=0$에서 $x=1$, $3$

$1\le x\le3$에서 $y\le0$이므로

$S=\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx=$ $\frac{4}{3}$

빠른 풀이: $\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3=\frac{2^3}{6}$ [교과서 밖]

$x$

$y$

$O$

$1$

$3$

사고 흐름

① 곡선과 $x$축의 교점으로 적분 구간을 정한다

② 구간에서 그래프가 $x$축 위인지 아래인지 본다

③ 아래쪽이면 $-f(x)$를 적분한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

곡선 $y=x^3-x^2-2x$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합을 구하시오.

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교점: $x(x+1)(x-2)=0$에서 $x=-1$, $0$, $2$

$[-1, 0]$에서 $y\ge0$, $[0, 2]$에서 $y\le0$

$\int_{-1}^{0}(x^3-x^2-2x)\,dx=\frac{5}{12}$

$\int_{0}^{2}(-x^3+x^2+2x)\,dx=\frac{8}{3}$

$\therefore$ $\frac{5}{12}+\frac{8}{3}=$ $\frac{37}{12}$

$x$

$y$

$O$

$-1$

$2$

사고 흐름

① 삼차식을 인수분해해 교점 세 개를 찾는다

② 구간마다 부호가 다르므로 나눠서 적분한다

③ $x$축 아래 부분은 부호를 바꿔 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 절댓값 함수의 그래프와 넓이

문제 · 기본

곡선 $y=|x^2-1|$과 $x$축 및 두 직선 $x=0$, $x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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$x=1$을 경계로 절댓값을 푼다

$\int_{0}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{2}{3}$

$\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx=\frac{4}{3}$

$\therefore$ $\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=$ $2$

$x$

$y$

$O$

$1$

$2$

$1$

사고 흐름

① 절댓값 안이 $0$이 되는 $x$를 찾는다

② $x$축 아래 부분이 위로 접힌 그래프를 그린다

③ 구간마다 식을 바꿔 적분한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

곡선 $y=|x^2-2x|$와 직선 $y=x$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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교점: $x=0$, $1$, $3$ ($0<x<2$이면 $2x-x^2=x$, $x\ge2$이면 $x^2-2x=x$)

$[0, 1]$은 곡선이 위, $[1, 3]$은 직선이 위

$\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx+\int_{1}^{2}(x^2-x)\,dx+\int_{2}^{3}(3x-x^2)\,dx$

$=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}+\frac{7}{6}=$ $\frac{13}{6}$

$x$

$y$

$O$

$1$

$2$

$3$

사고 흐름

① 절댓값을 구간별로 풀어 직선과의 교점을 구한다

② 구간마다 어느 쪽이 위인지 판단한다

③ 식이 바뀌는 점($x=2$)에서도 적분을 나눈다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 곡선과 직선 사이의 넓이빈출

문제 · 기본

곡선 $y=x^2-2x$와 직선 $y=x+4$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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교점: $x^2-3x-4=0$에서 $x=-1$, $4$

$S=\int_{-1}^{4}\{(x+4)-(x^2-2x)\}dx$

$=\Big[-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+4x\Big]_{-1}^{4}=$ $\frac{125}{6}$

빠른 풀이: $\frac{1}{6}\times5^3$ [교과서 밖]

$x$

$y$

$O$

$-1$

$4$

사고 흐름

① 두 식을 같게 놓아 교점의 $x$좌표를 구한다

② 구간 안에서 직선이 위인지 곡선이 위인지 본다

③ (위) $-$ (아래)를 한 번에 적분한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

곡선 $y=x^3-2x^2$과 직선 $y=3x$로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합을 구하시오.

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교점: $x^3-2x^2-3x=x(x+1)(x-3)=0$에서 $x=-1$, $0$, $3$

$[-1, 0]$은 곡선이 위, $[0, 3]$은 직선이 위

$\int_{-1}^{0}(x^3-2x^2-3x)\,dx=\frac{7}{12}$

$\int_{0}^{3}(-x^3+2x^2+3x)\,dx=\frac{45}{4}$

$\therefore$ $\frac{7}{12}+\frac{45}{4}=$ $\frac{71}{6}$

$x$

$y$

$O$

$-1$

$3$

사고 흐름

① 차 $f(x)-g(x)$를 인수분해해 교점을 구한다

② 교점이 세 개면 구간마다 위·아래가 바뀐다

③ 구간별 (위) $-$ (아래)를 적분해 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 두 곡선 사이의 넓이빈출

문제 · 기본

두 곡선 $y=x^2$, $y=-x^2+4x$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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교점: $2x^2-4x=0$에서 $x=0$, $2$

$S=\int_{0}^{2}\{(-x^2+4x)-x^2\}dx$

$=\Big[-\frac{2}{3}x^3+2x^2\Big]_{0}^{2}=$ $\frac{8}{3}$

빠른 풀이: $\frac{|1-(-1)|}{6}\times2^3$ [교과서 밖]

$x$

$y$

$O$

$2$

사고 흐름

① 두 곡선의 교점을 구한다

② 구간에서 어느 곡선이 위인지 한 점을 넣어 확인한다

③ 두 식의 차를 적분한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

곡선 $y=x^2$을 $x$축에 대하여 대칭이동한 뒤 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $8$만큼 평행이동한 곡선을 $y=f(x)$라 하자. 두 곡선 $y=x^2$, $y=f(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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$f(x)=-(x-2)^2+8$, 차 $f(x)-x^2=-2(x^2-2x-2)$

교점 $x=1\pm\sqrt{3}$

$x$축 방향으로 $-1$만큼 옮겨도 넓이는 같다: $-2(u^2-3)$, $-\sqrt3\le u\le\sqrt3$

$S=2\int_{0}^{\sqrt3}(6-2u^2)\,du=$ $8\sqrt{3}$

$x$

$y$

$O$

$8$

사고 흐름

① 이동한 곡선의 식을 세우고 교점을 구한다

② 교점이 무리수면 평행이동해 구간을 대칭으로 만든다

③ 대칭 구간이면 $2\int_0^a$로 계산을 줄인다

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유형 5 곡선과 접선 사이의 넓이

문제 · 기본

곡선 $y=x^3$ 위의 점 $(1, 1)$에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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접선: $y=3x-2$

$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$: 교점 $x=-2$, $1$

$S=\int_{-2}^{1}(x^3-3x+2)\,dx=$ $\frac{27}{4}$

빠른 풀이: $\frac{1}{12}\times3^4$ [교과서 밖]

$x$

$y$

$O$

$-2$

$1$

사고 흐름

① 접선의 방정식을 구한다

② (곡선) $-$ (접선)은 접점에서 중근을 가진다

③ 다른 교점까지 적분한다

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문제 · 심화

점 $(1, -3)$에서 곡선 $y=x^2$에 그은 두 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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접점 $(t, t^2)$의 접선 $y=2tx-t^2$이 $(1, -3)$을 지나면 $t=-1$, $3$

접선 $y=-2x-1$, $y=6x-9$, 두 접선의 교점 $x=1$

$x=1$에서 나눈다: $\int_{-1}^{1}(x+1)^2\,dx+\int_{1}^{3}(x-3)^2\,dx$

$=\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=$ $\frac{16}{3}$

$x$

$y$

$O$

$1$

$3$

사고 흐름

① 접점을 $t$로 놓고 지나는 점을 대입해 $t$를 구한다

② 두 접선의 교점에서 적분 구간을 나눈다

③ 구간마다 (곡선) $-$ (그 구간의 접선)을 적분한다

DOYEONMATH · 김도연T