미적분1 · 적분
05 정적분을 포함한 등식
개념
구간이 상수 $\int_a^b f(t)\,dt=k$ (상수)로 놓고 $f(x)$에 대입
적분과 미분의 관계 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$
구간에 변수 $x=a$를 대입하면 $\int_a^a f(t)\,dt=0$
$(x-t)$ 꼴 $x\int_a^x f(t)\,dt-\int_a^x tf(t)\,dt$로 바꾼 뒤 미분
자주 나오는 유형
유형 1 적분 구간이 상수인 등식빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)$가 $f(x)=3x^2+2x-\int_{0}^{1}f(t)\,dt$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
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$\int_{0}^{1}f(t)\,dt=k$로 놓으면 $f(x)=3x^2+2x-k$
$k=\int_{0}^{1}(3t^2+2t-k)\,dt=1+1-k$
$2k=2$에서 $k=1$, $f(x)=3x^2+2x-1$
$\therefore$ $f(2)=12+4-1=$ $15$
사고 흐름
① 위끝·아래끝이 상수인 정적분은 상수다
② 그 상수를 $k$로 놓고 $f(x)$를 $k$로 나타낸다
③ 다시 적분해 $k$에 대한 방정식을 푼다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 $f(x)=2x+\int_{0}^{1}g(t)\,dt$, $g(x)=3x^2-\int_{0}^{1}f(t)\,dt$를 만족시킬 때, $f(1)+g(2)$의 값을 구하시오.
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$\int_{0}^{1}g(t)\,dt=A$, $\int_{0}^{1}f(t)\,dt=B$로 놓는다
$B=\int_{0}^{1}(2t+A)\,dt=1+A$, $A=\int_{0}^{1}(3t^2-B)\,dt=1-B$
연립하면 $A=0$, $B=1$이므로 $f(x)=2x$, $g(x)=3x^2-1$
$\therefore$ $f(1)+g(2)=2+11=$ $13$
사고 흐름
① 상수인 정적분이 두 개면 문자 두 개로 놓는다
② 각 함수를 적분해 두 문자의 연립방정식을 만든다
③ 구한 상수를 대입해 두 함수를 완성한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 적분 구간에 변수가 있는 등식빈출
문제 · 기본
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_{1}^{x}f(t)\,dt=x^3+ax^2-2$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)
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$x=1$ 대입: $0=1+a-2$, $a=1$
양변을 미분: $f(x)=3x^2+2ax=3x^2+2x$
$\therefore$ $f(2)=12+4=$ $16$
사고 흐름
① 아래끝 $x=1$을 대입하면 좌변이 $0$이 된다
② 양변을 $x$에 대하여 미분해 $f(x)$를 구한다
③ 구한 상수를 넣어 함숫값을 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $xf(x)=2x^3+\int_{1}^{x}f(t)\,dt$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
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양변을 미분: $f(x)+xf'(x)=6x^2+f(x)$
$xf'(x)=6x^2$이므로 $f'(x)=6x$, $f(x)=3x^2+C$
$x=1$ 대입: $f(1)=2$이므로 $3+C=2$, $C=-1$
$\therefore$ $f(2)=12-1=$ $11$
사고 흐름
① 양변을 미분하면 정적분이 $f(x)$로 바뀐다
② $f'(x)$를 구해 적분하면 적분상수가 남는다
③ 아래끝 $x=1$을 대입한 식으로 적분상수를 정한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 피적분함수에도 변수가 있는 등식빈출
문제 · 기본
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_{1}^{x}(x-t)f(t)\,dt=x^3+ax^2+bx+1$을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)
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좌변 $=x\int_{1}^{x}f(t)\,dt-\int_{1}^{x}tf(t)\,dt$
미분하면 $\int_{1}^{x}f(t)\,dt=3x^2+2ax+b$, 한 번 더 미분하면 $f(x)=6x+2a$
$x=1$ 대입: $1+a+b+1=0$, $3+2a+b=0$ → $a=-1$, $b=-1$
$f(x)=6x-2$ $\therefore$ $f(3)=$ $16$
사고 흐름
① $x$를 적분 기호 밖으로 빼낸다
② 두 번 미분해 $f(x)$를 구한다
③ 미분하기 전 식마다 $x=1$을 대입해 상수를 정한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,dt=x^4+ax^3$을 만족시키고 $f(2)=0$일 때, $f(x)$의 최솟값을 구하시오. (단, $a$는 상수)
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좌변 $=x\int_{0}^{x}f(t)\,dt-\int_{0}^{x}tf(t)\,dt$
두 번 미분하면 $f(x)=12x^2+6ax$
$f(2)=48+12a=0$에서 $a=-4$, $f(x)=12x^2-24x=12(x-1)^2-12$
$\therefore$ 최솟값 $-12$
사고 흐름
① $(x-t)$를 풀어 $x$를 적분 밖으로 뺀다
② 두 번 미분해 $f(x)$를 문자 $a$로 나타낸다
③ 조건으로 $a$를 구하고 완전제곱식으로 최솟값을 찾는다
DOYEONMATH · 김도연T