미적분1 · 미분
08 함수의 최대와 최소
개념
닫힌구간 극값과 양 끝값 중 가장 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값
치환 $t=g(x)$로 놓으면 $t$의 범위부터 구한다
활용 한 문자로 식 세우기 → 변수의 범위 → 미분
자주 나오는 유형
유형 1 함수의 최대·최소빈출
문제 · 기본
닫힌구간 $[-2, 4]$에서 함수 $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 구하시오.
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$f'(x)=3(x+1)(x-3)$
$f(-2)=3$, $f(-1)=10$, $f(3)=-22$, $f(4)=-15$
$M=10$, $m=-22$
$\therefore$ $M+m=$ $-12$
사고 흐름
① 구간 안에서 $f'(x)=0$인 $x$를 찾는다
② 극값과 양 끝값을 모두 계산한다
③ 가장 큰 값과 가장 작은 값을 고른다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
닫힌구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x)=x^4-2x^2$의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.
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$f'(x)=4x(x+1)(x-1)$
$f(-1)=-1$, $f(0)=0$, $f(1)=-1$, $f(2)=8$
최댓값 $8$, 최솟값 $-1$
$\therefore$ $9$
사고 흐름
① 끝점이 극점과 겹치면 한 번만 계산한다
② 극값만 보지 말고 끝값 $f(2)$를 꼭 확인한다
③ 최댓값 $-$ 최솟값
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 치환을 이용한 최대·최소
문제 · 기본
함수 $y=(x^2-2x+2)^2-4(x^2-2x+2)$의 최솟값을 구하시오.
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$t=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$이므로 $t\ge1$
$y=t^2-4t=(t-2)^2-4$
$t=2$일 때 최소
$\therefore$ 최솟값 $-4$
사고 흐름
① 반복되는 식을 $t$로 놓는다
② $t$의 범위를 먼저 구한다
③ 그 범위에서 $t$의 함수의 최솟값을 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$0\le x\le3$일 때, 함수 $y=(x^2-2x)^3-3(x^2-2x)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M+m$의 값을 구하시오.
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$t=x^2-2x=(x-1)^2-1$, $0\le x\le3$에서 $-1\le t\le3$
$g(t)=t^3-3t$, $g'(t)=3(t+1)(t-1)$
$g(-1)=2$, $g(1)=-2$, $g(3)=18$
$M=18$, $m=-2$ $\therefore$ $16$
사고 흐름
① 치환한 $t$의 범위를 $x$의 범위로부터 구한다
② $t$의 삼차함수로 극값·끝값을 비교한다
③ 최댓값과 최솟값을 더한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정
문제 · 기본
닫힌구간 $[0, 2]$에서 함수 $f(x)=x^3-3x+a$의 최댓값이 $5$일 때, 최솟값을 구하시오. (단, $a$는 상수)
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$f'(x)=3(x+1)(x-1)$
$f(0)=a$, $f(1)=a-2$, $f(2)=a+2$
최댓값 $a+2=5$에서 $a=3$
$\therefore$ 최솟값 $a-2=$ $1$
사고 흐름
① 후보값을 모두 $a$로 나타낸다
② 어느 값이 최대인지 정한다
③ 최댓값 조건으로 $a$를 구해 최솟값을 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
닫힌구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x)=ax^3-3ax^2+b$의 최댓값이 $5$, 최솟값이 $-11$일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a>0$)
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$f'(x)=3ax(x-2)$
$f(-1)=b-4a$, $f(0)=b$, $f(2)=b-4a$
$a>0$이므로 최댓값 $b=5$, 최솟값 $b-4a=-11$
$a=4$ $\therefore$ $a+b=$ $9$
사고 흐름
① 후보값을 $a$, $b$로 나타낸다
② $a$의 부호로 대소를 정한다
③ 두 조건을 연립한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 4 최대·최소로 정의된 함수
문제 · 기본
양수 $t$에 대하여 $0\le x\le t$에서 함수 $f(x)=x^2-4x$의 최솟값을 $g(t)$라 할 때, $g(1)+g(3)$의 값을 구하시오.
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$f(x)=(x-2)^2-4$
$t=1$: $[0, 1]$에서 감소하므로 $g(1)=f(1)=-3$
$t=3$: 꼭짓점 $x=2$가 구간 안이므로 $g(3)=-4$
$\therefore$ $g(1)+g(3)=$ $-7$
사고 흐름
① 꼭짓점이 구간 안에 있는지로 경우를 나눈다
② 구간 밖이면 끝값이 최소
③ 구간 안이면 꼭짓점이 최소
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
양수 $a$에 대하여 $0\le x\le a$에서 함수 $f(x)=-x^3+3x$의 최댓값을 $M(a)$라 할 때, $M\left(\frac12\right)+M(3)$의 값을 구하시오.
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$f'(x)=-3(x+1)(x-1)$: $0\le x\le1$에서 증가, $x\ge1$에서 감소
$M\left(\frac12\right)=f\left(\frac12\right)=-\frac18+\frac32=\dfrac{11}{8}$
$a=3$이면 극대 $x=1$이 구간 안: $M(3)=f(1)=2$
$\therefore$ $\dfrac{11}{8}+2=$ $\dfrac{27}{8}$
사고 흐름
① 증감표로 극대인 점의 위치를 확인한다
② 구간이 극대점을 포함하는지로 나눈다
③ 경우마다 최댓값을 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 5 최대·최소의 활용빈출
문제 · 기본
곡선 $y=9-x^2$과 $x$축으로 둘러싸인 부분에 내접하고 한 변이 $x$축 위에 있는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.
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꼭짓점 $(\pm x, 9-x^2)$ ($0<x<3$), 넓이 $S(x)=2x(9-x^2)$
$S'(x)=18-6x^2=0$에서 $x=\sqrt3$
$S(\sqrt3)=2\sqrt3\times6$
$=$ $12\sqrt3$
사고 흐름
① 꼭짓점 하나의 $x$좌표를 변수로 놓는다
② 넓이를 한 변수의 함수로 쓰고 범위를 정한다
③ 미분해 최댓값을 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
가로 $16$, 세로 $10$인 직사각형 판의 네 모퉁이에서 한 변의 길이가 $x$인 정사각형을 잘라 내고 접어 뚜껑이 없는 상자를 만들 때, 상자의 부피의 최댓값을 구하시오.
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$V(x)=x(16-2x)(10-2x)$ ($0<x<5$)
$V'(x)=12x^2-104x+160=4(3x-20)(x-2)$
$0<x<5$에서 $x=2$일 때 최대
$V(2)=2\times12\times6=$ $144$
사고 흐름
① 부피를 $x$의 식으로 쓴다
② 길이가 양수이도록 $x$의 범위를 정한다
③ 범위 안의 극대에서 최댓값을 구한다
DOYEONMATH · 김도연T