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04 접선의 방정식

개념
접점이 주어질 때 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$
기울기가 주어질 때 $f'(t)=m$으로 접점을 찾는다
곡선 밖의 점 접점을 $(t, f(t))$로 놓고 대입
자주 나오는 유형

유형 1 곡선 위의 점에서의 접선빈출

문제 · 기본
곡선 $y=x^3-2x+1$ 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선의 $y$절편을 구하시오.
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$y'=3x^2-2$이므로 기울기 $1$
접선: $y-0=1\times(x-1)$, $y=x-1$
$\therefore$ $y$절편 $-1$
사고 흐름
① 접점의 $x$좌표에서 미분계수(기울기)를 구한다
② 점과 기울기로 직선의 방정식을 쓴다
③ $x=0$을 넣어 $y$절편을 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
곡선 $y=x^2-3x+4$ 위의 점 $(2, 2)$를 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선의 $x$절편을 구하시오.
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$y'=2x-3$이므로 접선의 기울기 $1$
수직인 직선의 기울기 $-1$
$y-2=-(x-2)$, $y=-x+4$
$\therefore$ $x$절편 $4$
사고 흐름
① 접선의 기울기를 먼저 구한다
② 수직이면 기울기의 곱이 $-1$
③ 같은 점을 지나는 직선의 방정식을 쓴다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 극한·항등식이 주어진 접선

문제 · 기본
다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x\to2}\dfrac{f(x)-3}{x-2}=5$를 만족시킬 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 $x=2$인 점에서의 접선의 $y$절편을 구하시오.
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$f(2)=3$, $f'(2)=5$
접선: $y-3=5(x-2)$, $y=5x-7$
$\therefore$ $y$절편 $-7$
사고 흐름
① 분자 $\to0$이므로 함숫값을 얻는다
② 극한값은 미분계수, 곧 접선의 기울기
③ 접점과 기울기로 접선을 쓴다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $(x^2-1)f(x)=x^4+ax+b$를 만족시킨다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 $x=1$인 점에서의 접선이 점 $(3, k)$를 지날 때, $k$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)
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$x=1$, $-1$ 대입: $1+a+b=0$, $1-a+b=0$ → $a=0$, $b=-1$
$f(x)=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}=x^2+1$
$f(1)=2$, $f'(1)=2$이므로 접선 $y=2x$
$\therefore$ $k=$ $6$
사고 흐름
① 좌변이 $0$이 되는 $x$를 대입해 미지수를 구한다
② 나눗셈으로 $f(x)$를 구한다
③ 접선을 구해 점을 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 접선이 곡선과 다시 만나는 점

문제 · 기본
곡선 $y=x^3$ 위의 점 $(1, 1)$에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 $y$좌표를 구하시오.
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접선 $y=3x-2$
$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0$
다시 만나는 점의 $x$좌표 $-2$
$\therefore$ $y=(-2)^3=$ $-8$
사고 흐름
① 접선의 방정식을 구한다
② (곡선) $-$ (접선)은 접점에서 중근을 가진다
③ 나머지 인수에서 교점을 얻는다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
곡선 $y=x^3-3x^2$ 위의 $x=t$인 점에서의 접선이 곡선과 $x=-1$인 점에서 다시 만날 때, $t$의 값을 구하시오. (단, $t\ne1$)
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(곡선) $-$ (접선) $=(x-t)^2(x-s)$ ($s$: 다시 만나는 점)
근과 계수의 관계: $t+t+s=3$이므로 $s=3-2t$
$3-2t=-1$
$\therefore$ $t=$ $2$
사고 흐름
① (곡선) $-$ (접선)을 $(x-t)^2(x-s)$로 놓는다
② $x^2$의 계수로 세 근의 합을 쓴다
③ 다시 만나는 점의 조건을 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 기울기가 주어진 접선

문제 · 기본
곡선 $y=x^2-4x+5$에 접하고 기울기가 $2$인 직선의 $y$절편을 구하시오.
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$y'=2x-4=2$에서 접점의 $x$좌표 $3$
접점 $(3, 2)$
$y-2=2(x-3)$, $y=2x-4$
$\therefore$ $y$절편 $-4$
사고 흐름
① 도함수 $=$ 주어진 기울기로 접점을 찾는다
② 접점의 좌표를 구한다
③ 접선의 방정식을 쓴다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
곡선 $y=x^3+ax$와 직선 $y=2x+2$가 접할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
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접점의 $x$좌표를 $t$라 하면
$3t^2+a=2$, $t^3+at=2t+2$
$a=2-3t^2$을 대입: $-2t^3=2$, $t=-1$
$\therefore$ $a=2-3=$ $-1$
사고 흐름
① 접점을 $t$로 놓는다
② 접점에서 함숫값과 기울기가 모두 같다
③ 두 식을 연립한다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 5 접선의 기울기의 최대·최소

문제 · 기본
곡선 $y=-x^3+3x^2+2$에 접하는 직선 중 기울기가 최대인 접선의 $y$절편을 구하시오.
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기울기 $y'=-3x^2+6x=-3(x-1)^2+3$
$x=1$일 때 최대 $3$, 접점 $(1, 4)$
$y-4=3(x-1)$, $y=3x+1$
$\therefore$ $y$절편 $1$
사고 흐름
① 접선의 기울기는 $f'(x)$이다
② $f'(x)$의 최댓값과 그때의 $x$를 구한다
③ 그 점에서의 접선을 쓴다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
곡선 $y=x^3-3ax^2+5x+1$에 접하는 직선의 기울기의 최솟값이 $2$일 때, 기울기가 최소인 접선의 $y$절편을 구하시오. (단, $a>0$)
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$y'=3x^2-6ax+5=3(x-a)^2+5-3a^2$
최솟값 $5-3a^2=2$에서 $a=1$
$x=1$에서 접점 $(1, 4)$, 기울기 $2$
$y=2x+2$ $\therefore$ $y$절편 $2$
사고 흐름
① $f'(x)$를 완전제곱식으로 바꾼다
② 최솟값 조건으로 $a$를 구한다
③ 최소인 점에서 접선을 구한다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리

문제 · 기본
곡선 $y=x^2$ 위의 점과 직선 $y=2x-3$ 사이의 거리의 최솟값을 구하시오.
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직선과 기울기가 같은 접선의 접점이 가장 가깝다
$y'=2x=2$에서 접점 $(1, 1)$
점 $(1, 1)$과 직선 $2x-y-3=0$ 사이의 거리 $\dfrac{|2-1-3|}{\sqrt5}$
$=$ $\dfrac{2\sqrt5}{5}$
사고 흐름
① 직선과 평행한 접선의 접점을 찾는다
② 그 접점이 거리가 최소인 점이다
③ 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓴다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
곡선 $y=x^3$ ($x>0$) 위의 점과 직선 $y=3x-6$ 사이의 거리의 최솟값을 구하시오.
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$y'=3x^2=3$, $x>0$이므로 접점 $(1, 1)$
점 $(1, 1)$과 직선 $3x-y-6=0$ 사이의 거리
$\dfrac{|3-1-6|}{\sqrt{10}}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}$
$=$ $\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
사고 흐름
① 주어진 범위 안에서 기울기가 같은 접점을 찾는다
② 곡선이 직선의 한쪽에 있는지 확인한다
③ 거리 공식으로 계산하고 유리화한다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 7 곡선 밖의 점에서 그은 접선빈출

문제 · 기본
점 $(0, -1)$에서 곡선 $y=x^2$에 그은 두 접선의 기울기의 곱을 구하시오.
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접점 $(t, t^2)$에서의 접선: $y=2tx-t^2$
$(0, -1)$ 대입: $-1=-t^2$, $t=\pm1$
기울기 $2t$는 $2$, $-2$
$\therefore$ 곱 $-4$
사고 흐름
① 접점을 $(t, f(t))$로 놓고 접선을 쓴다
② 지나는 점을 대입해 $t$를 구한다
③ $t$마다 기울기 $f'(t)$를 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
점 $(1, -1)$에서 곡선 $y=x^3-x$에 그은 두 접선의 기울기의 합을 구하시오.
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접선: $y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t$
$(1, -1)$ 대입: $-2t^3+3t^2-1=-1$, $t^2(3-2t)=0$
$t=0$, $\frac32$이므로 기울기 $-1$, $\dfrac{23}{4}$
$\therefore$ 합 $\dfrac{19}{4}$
사고 흐름
① 접점을 $t$로 놓고 접선을 쓴다
② 지나는 점을 대입해 $t$의 방정식을 푼다
③ 서로 다른 $t$마다 기울기를 구해 더한다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 8 공통인 접선

문제 · 기본
두 곡선 $y=x^3+ax+b$, $y=x^2+3$이 점 $(1, 4)$에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.
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점 $(1, 4)$에서 기울기가 같다: $3+a=2$ → $a=-1$
$1+a+b=4$ → $b=4$
$\therefore$ $a+b=$ $3$
사고 흐름
① 공통인 접선이면 그 점에서 함숫값이 같다
② 그 점에서 미분계수도 같다
③ 두 조건을 연립한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 곡선 $y=x^2$, $y=-x^2+4x-6$에 동시에 접하는 직선은 두 개이다. 두 직선의 기울기의 곱을 구하시오.
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$y=mx+k$가 $y=x^2$에 접함: $x^2-mx-k=0$의 $D=0$ → $k=-\dfrac{m^2}{4}$
$y=-x^2+4x-6$에 접함: $(4-m)^2-4(6+k)=0$
대입하면 $m^2-4m-4=0$
$\therefore$ 기울기의 곱 $-4$
사고 흐름
① 공통 접선을 $y=mx+k$로 놓는다
② 각 곡선과 접할 조건(판별식 $=0$)을 쓴다
③ $k$를 소거해 $m$의 방정식을 만든다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 9 접선과 도형의 넓이

문제 · 기본
곡선 $y=x^2+1$ 위의 점 $(2, 5)$에서의 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
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$y'=2x$이므로 접선 $y=4x-3$
$x$절편 $\frac34$, $y$절편 $-3$
넓이 $=\frac12\times\frac34\times3$
$=$ $\frac98$
사고 흐름
① 접선의 방정식을 구한다
② 두 축과 만나는 점을 구한다
③ 직각삼각형의 넓이를 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
곡선 $y=x^3$ 위의 점 $(t, t^3)$ ($t>0$)에서의 접선과 $x$축 및 직선 $x=t$로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 $6$일 때, $t$의 값을 구하시오.
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접선 $y=3t^2x-2t^3$, $x$절편 $\dfrac{2t}{3}$
밑변 $t-\dfrac{2t}{3}=\frac t3$, 높이 $t^3$
넓이 $\frac12\times\frac t3\times t^3=\dfrac{t^4}{6}=6$, $t^4=36$
$t>0$이므로 $t=$ $\sqrt6$
사고 흐름
① 접선을 $t$의 식으로 쓴다
② 도형의 밑변과 높이를 $t$로 나타낸다
③ 넓이 조건으로 $t$를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T